Logarytmy to jedno z ważniejszych pojęć w matematyce na poziomie szkoły średniej. Pojawiają się w zadaniach z funkcji, równań, ciągów, ale także w praktyce – przy opisywaniu zjawisk fizycznych, chemicznych czy ekonomicznych. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy:
- co to jest logarytm,
- jakie są warunki istnienia logarytmu,
- podstawowe wzory na logarytmy,
- jak obliczać logarytmy na prostych przykładach,
- jak rozwiązywać proste równania logarytmiczne,
- zastosowania logarytmów w praktyce.
Co to jest logarytm? Intuicyjna definicja
Wyobraźmy sobie proste pytanie:
Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(2\), aby otrzymać \(8\)?
Wiemy, że:
\[ 2^3 = 8 \]
Odpowiedź: trzeba podnieść \(2\) do potęgi \(3\). Logarytm właśnie na to pytanie odpowiada. Zapisujemy to tak:
\[ \log_2 8 = 3 \]
Czytamy: „logarytm o podstawie 2 z 8 jest równy 3”.
Definicja logarytmu
Ogólna definicja:
\[ \log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b \]
gdzie:
- \(a\) – podstawa logarytmu,
- \(b\) – liczba logarytmowana,
- \(c\) – wynik logarytmu.
Warunki istnienia logarytmu
Aby wyrażenie \(\log_a b\) miało sens, muszą być spełnione warunki:
- \(a > 0\) i \(a \neq 1\) – podstawa logarytmu dodatnia i różna od 1,
- \(b > 0\) – liczba logarytmowana dodatnia.
Dlaczego tak jest?
- Gdyby \(a \leq 0\), potęgi mogłyby zachowywać się „dziwnie” (np. potęgi ułamkowe z liczb ujemnych nie są liczbami rzeczywistymi).
- Gdyby \(a = 1\), to \(1^c = 1\) dla każdego \(c\), więc nie dałoby się jednoznacznie wyznaczyć logarytmu.
- Liczba logarytmowana \(b\) musi być dodatnia, bo żadna dodatnia podstawa nie da po podniesieniu do potęgi liczby ujemnej ani zera.
Proste przykłady z definicji
- \( \log_2 8 = 3 \), bo \(2^3 = 8\)
- \( \log_3 27 = 3 \), bo \(3^3 = 27\)
- \( \log_{10} 1000 = 3 \), bo \(10^3 = 1000\)
- \( \log_5 1 = 0 \), bo \(5^0 = 1\)
Specjalne logarytmy: dziesiętny, naturalny i o podstawie 2
W praktyce często używa się trzech szczególnych rodzajów logarytmów.
Logarytm dziesiętny
Podstawa \(10\). Zapis:
\[ \log_{10} x \]
Często w matematyce szkolnej zapisuje się go po prostu jako \(\log x\), np. \(\log 1000 = 3\). Wartości niektórych logarytmów dziesiętnych:
| \(x\) | \(\log_{10} x\) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 10 | 1 |
| 100 | 2 |
| 1000 | 3 |
| 0{,}1\) | \(-1\) |
Logarytm naturalny
Podstawa \(e \approx 2{,}71828\). Zapisuje się go jako:
\[ \ln x = \log_e x \]
Jest szczególnie ważny w matematyce wyższej, przy pochodnych, całkach, funkcjach wykładniczych i w modelach wzrostu (np. populacje, procesy ciągłe).
Logarytm o podstawie 2
Zapisujemy \(\log_2 x\). Jest bardzo ważny w informatyce (np. przy złożoności algorytmów, drzewach binarnych). Przykłady:
- \(\log_2 1 = 0\), bo \(2^0 = 1\)
- \(\log_2 2 = 1\), bo \(2^1 = 2\)
- \(\log_2 4 = 2\), bo \(2^2 = 4\)
- \(\log_2 8 = 3\)
- \(\log_2 16 = 4\)
Podstawowe własności i wzory na logarytmy
Znajomość wzorów logarytmicznych jest kluczowa, bo pozwala przekształcać trudniejsze wyrażenia i równania. Poniżej najważniejsze z nich.
Najprostsze logarytmy
\[ \log_a 1 = 0 \quad \text{(dla } a > 0, a \neq 1) \]
Uzasadnienie: \(a^0 = 1\).
\[ \log_a a = 1 \]
Uzasadnienie: \(a^1 = a\).
Logarytm potęgi podstawy
\[ \log_a (a^k) = k \]
bo z definicji: \(\log_a (a^k) = c \iff a^c = a^k \Rightarrow c = k\).
Przykłady:
- \(\log_3 3^4 = 4\)
- \(\log_5 5^{-2} = -2\)
Suma i różnica logarytmów – iloczyn i iloraz
Iloczyn:
\[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \]
Iloraz:
\[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \]
Warunki: \(a > 0, a \neq 1, x > 0, y > 0\).
Intuicja: potęgowanie zamienia dodawanie wykładników na mnożenie liczb, logarytm wykonuje odwrotną operację, więc mnożenie liczb zamienia się na dodawanie logarytmów.
Logarytm potęgi liczby
\[ \log_a (x^k) = k \log_a x \]
Przykłady:
- \(\log_2 (8^2) = \log_2 64 = 6\), bo \(8^2 = 2^6\), a z wzoru: \(\log_2 (8^2) = 2 \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6\).
- \(\log_3 (\sqrt{3}) = \log_3 (3^{1/2}) = \tfrac{1}{2} \log_3 3 = \tfrac{1}{2}\).
Zmiana podstawy logarytmu
To bardzo ważny wzór, bo większość kalkulatorów i komputerów ma wbudowane tylko \(\log_{10}\) i \(\ln\). Aby policzyć \(\log_a b\), używamy:
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
dla dowolnej podstawy \(c > 0, c \neq 1\).
Najczęściej wybieramy \(c = 10\) lub \(c = e\):
\[ \log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \frac{\ln b}{\ln a} \]
Jak obliczać logarytmy – przykłady krok po kroku
Przykład 1: Logarytmy z całkowitym wynikiem
Oblicz: \(\log_2 32\).
- Przekształć 32 do postaci potęgi 2: \(32 = 2^5\).
- Użyj własności: \(\log_a (a^k) = k\).
\[ \log_2 32 = \log_2 2^5 = 5 \]
Przykład 2: Logarytm ułamka
Oblicz: \(\log_2 \frac{1}{8}\).
- \(\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}\).
- \(\log_2 2^{-3} = -3\).
\[ \log_2 \frac{1}{8} = -3 \]
Przykład 3: Logarytm liczby spoza „prostych potęg”
Oblicz przybliżenie \(\log_2 10\) (np. za pomocą kalkulatora lub naszego kalkulatora poniżej).
Użyj zmiany podstawy z logarytmem dziesiętnym:
\[ \log_2 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} = \frac{1}{\log_{10} 2} \approx \frac{1}{0{,}3010} \approx 3{,}32 \]
Interpretacja: \(2^{3{,}32} \approx 10\).
Przykład 4: Uproszczenie wyrażenia z logarytmami
Uprość: \(\log_3 9 + \log_3 3\).
- \(\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\).
- \(\log_3 3 = 1\).
- Suma: \(2 + 1 = 3\).
Można też użyć wzoru na iloczyn:
\[ \log_3 9 + \log_3 3 = \log_3 (9 \cdot 3) = \log_3 27 = 3 \]
Przykład 5: Logarytm ilorazu
Uprość: \(\log_5 25 – \log_5 5\).
\[ \log_5 25 – \log_5 5 = \log_5 \left(\frac{25}{5}\right) = \log_5 5 = 1 \]
Najważniejsze wzory logarytmiczne – podsumowanie w tabeli
| Wzór | Opis |
|---|---|
| \(\log_a 1 = 0\) | Logarytm jedynki |
| \(\log_a a = 1\) | Logarytm podstawy |
| \(\log_a (a^k) = k\) | Logarytm potęgi podstawy |
| \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\) | Iloczyn |
| \(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\) | Iloraz |
| \(\log_a (x^k) = k \log_a x\) | Potęga liczby logarytmowanej |
| \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) | Zmiana podstawy |
Logarytmy jako funkcja – prosty wykres
Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci:
\[ y = \log_a x \]
Jej dziedzina to \(x > 0\). Dla podstawy \(a > 1\) funkcja jest rosnąca, tzn. im większe \(x\), tym większy logarytm.
Poniżej prosty wykres funkcji \(y = \log_{10} x\) („logarytm dziesiętny”). Wykres jest responsywny – dopasowuje się do szerokości ekranu (także na telefonie).
Prosty kalkulator logarytmów
Poniższy kalkulator pozwala obliczyć \(\log_a b\) dla podanej podstawy \(a\) i liczby logarytmowanej \(b\). Pamiętaj o warunkach: \(a > 0, a \neq 1, b > 0\).
Wynik: –
Proste równania logarytmiczne
Po zrozumieniu definicji logarytmu rozwiązywanie prostych równań staje się o wiele łatwiejsze.
Typ 1: \(\log_a x = c\)
Rozwiąż równanie:
\[ \log_3 x = 2 \]
Z definicji:
\[ \log_3 x = 2 \iff 3^2 = x \]
Zatem:
\[ x = 9 \]
Typ 2: Logarytm wyrażenia liniowego
Rozwiąż równanie:
\[ \log_2 (x – 1) = 3 \]
- Przepisz równanie w postaci wykładniczej: \(2^3 = x – 1\).
- Policz: \(8 = x – 1\).
- Dodaj 1 do obu stron: \(x = 9\).
- Sprawdź warunek: \(x – 1 > 0 \Rightarrow 9 – 1 > 0\) – OK.
Typ 3: Równanie z logarytmem po obu stronach
Rozwiąż:
\[ \log_3 (x + 1) = \log_3 4 \]
Wykorzystujemy fakt, że dla tej samej podstawy funkcja logarytmiczna jest rosnąca: jeśli \(\log_3 A = \log_3 B\), to \(A = B\) (oczywiście, przy dodatnich \(A,B\)).
\[ x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3 \]
Sprawdzenie: \(x + 1 = 4 > 0\) – warunek dziedziny spełniony.
Zastosowania logarytmów w praktyce
Logarytmy nie są tylko abstrakcyjnym pojęciem z lekcji matematyki. Pojawiają się w wielu dziedzinach:
1. Skala decybelowa (dB) w akustyce
Nateżenie dźwięku opisuje się w decybelach za pomocą logarytmu:
\[ L = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0}\right) \]
gdzie:
- \(L\) – poziom dźwięku w decybelach [dB],
- \(I\) – natężenie dźwięku,
- \(I_0\) – natężenie odniesienia.
Dzięki logarytmowi możemy „skompresować” bardzo duży zakres natężeń do wygodniejszej skali.
2. Skala Richtera w sejsmologii
Siła trzęsienia ziemi w skali Richtera jest związana z logarytmem amplitudy drgań. Zwiększenie magnitudy o 1 oznacza około 10-krotny wzrost amplitudy.
3. Skala pH w chemii
pH roztworu definiuje się jako:
\[ \text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+] \]
gdzie \([\text{H}^+]\) to stężenie jonów wodorowych w mol/dm\(^3\). Małe zmiany pH oznaczają duże (logarytmiczne) zmiany w stężeniu jonów.
4. Wzrost wykładniczy i procent składany
Jeśli coś rośnie „procentowo” (np. lokata, liczba użytkowników, populacja), to często mamy do czynienia z funkcją wykładniczą. Logarytmy pomagają:
- obliczyć czas potrzebny do osiągnięcia pewnego poziomu,
- rozwiązać równania typu: \(A \cdot q^n = B\) – wtedy bierzemy logarytm obu stron.
Przykład: ile lat potrzeba, aby kapitał powiększył się 2 razy przy stałej rocznej stopie zwrotu \(r\)?
\[ K(1 + r)^n = 2K \Rightarrow (1 + r)^n = 2 \Rightarrow n = \frac{\log 2}{\log (1 + r)} \]
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Spróbuj samodzielnie obliczyć (możesz wspomóc się kalkulatorem logarytmów powyżej):
- Oblicz: \(\log_4 64\).
- Oblicz: \(\log_5 \frac{1}{25}\).
- Uprość: \(\log_2 16 + \log_2 8\).
- Uprość: \(\log_3 27 – \log_3 3\).
- Rozwiąż równanie: \(\log_2 (x – 3) = 4\).
- Rozwiąż równanie: \(\log_5 (2x + 1) = \log_5 11\).
Oczekiwane odpowiedzi (sprawdź swoje wyniki):
- \(\log_4 64 = 3\)
- \(\log_5 \frac{1}{25} = -2\)
- \(\log_2 16 + \log_2 8 = 7\)
- \(\log_3 27 – \log_3 3 = 2\)
- \(x = 19\)
- \(2x + 1 = 11 \Rightarrow x = 5\)
Podsumowanie
Logarytmy to „odwrócenie” potęgowania. Jeśli potęgowanie odpowiada na pytanie „jaka jest wartość \(a^c\)?”, to logarytm odpowiada na pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść \(a\), żeby dostać \(b\)?”.
Znajomość podstawowych wzorów – szczególnie na iloczyn, iloraz, potęgę i zmianę podstawy – pozwala znacznie uprościć wiele zadań i zrozumieć zastosowania logarytmów w nauce i w życiu codziennym.