Na pierwszy rzut oka skala wydaje się banalna: „1 : 100, czyli wszystko jest 100 razy mniejsze” i po sprawie. Schody zaczynają się, gdy trzeba z tej skali coś obliczyć: długość drogi, powierzchnię pokoju z planu, wymiary figur w zadaniach. Dochodzą przeliczenia jednostek, różne sposoby zapisu, a do tego jeszcze skale powiększające i pomniejszające. Poniżej znajduje się konkretne wyjaśnienie, jak obliczyć skalę i jak z niej korzystać, tak żeby zadania z mapą czy rysunkiem technicznym nie były loterią.
Co to właściwie jest skala?
W matematyce i geografii skala opisuje, ile razy obraz (rysunek, mapa, plan) jest pomniejszony lub powiększony w stosunku do rzeczywistości. Mówi, jak odległości na rysunku mają się do odległości w realnym świecie.
Najczęściej używany jest zapis typu 1 : 100. Czyta się to: „jeden do stu” i oznacza to, że:
- 1 jednostka na rysunku odpowiada 100 takim samym jednostkom w rzeczywistości;
- to nie muszą być centymetry – mogą być metry, kilometry, byle po obu stronach były te same jednostki.
Spotykane są także zapisy słowne, np. „w skali 1 cm – 2 km”. To tylko inna forma tego samego: 1 cm na mapie odpowiada 2 km w terenie.
Najważniejsze: skala to zawsze porównanie tych samych jednostek. Jeśli w opisie pojawiają się różne jednostki (cm i km), najpierw trzeba je sprowadzić do jednej.
Jak obliczyć skalę z rysunku lub mapy?
Czasem w zadaniu nie ma podanej skali, tylko informacja typu: „Odległość między miastami wynosi 50 km, na mapie to 5 cm”. Da się z tego bez trudu obliczyć skalę.
Podstawowa idea jest prosta:
- mierzy się odległość na mapie (np. 5 cm),
- zna się odległość w rzeczywistości (np. 50 km),
- trzeba zrobić z tego porównanie w postaci 1 : coś.
Krok po kroku wygląda to tak:
- Zapisać, ile jednostek w rzeczywistości odpowiada 1 jednostce na rysunku.
- Sprowadzić wszystko do tych samych jednostek.
- Uprościć proporcję (podzielić obie strony przez tę samą liczbę).
Przykład krok po kroku – plan pokoju
Dany jest plan pokoju: długość ściany na rysunku to 4 cm, a w rzeczywistości ta ściana ma 5 m. Zadanie: obliczyć skalę planu.
1. Najpierw trzeba mieć te same jednostki. Ściana w rzeczywistości ma 5 m, więc w centymetrach to:
5 m = 5 · 100 cm = 500 cm
2. Teraz porównanie: 4 cm na rysunku odpowiada 500 cm w rzeczywistości. Zapis:
4 cm : 500 cm
3. Skala powinna mieć postać 1 : coś, więc obie strony dzieli się przez 4:
4 cm : 500 cm = 1 cm : (500 : 4) cm = 1 : 125
Odpowiedź: plan wykonany jest w skali 1 : 125. Oznacza to, że wszystko na rysunku jest 125 razy mniejsze niż w rzeczywistości.
Wzór w skrócie: skala = (odległość rzeczywista) : (odległość na rysunku), po sprowadzeniu do tych samych jednostek i uproszczeniu do postaci 1 : n.
Jak obliczyć rzeczywisty wymiar ze skali?
Częstsze w zadaniach jest odwrotne działanie: skala jest znana, zmierzona jest długość na rysunku i trzeba policzyć rzeczywistą odległość.
Przykład: mapa w skali 1 : 100 000. Odległość między miastami na mapie to 7 cm. Ile to jest w rzeczywistości?
Skala 1 : 100 000 oznacza, że:
1 cm na mapie → 100 000 cm w rzeczywistości.
7 cm na mapie to 7 razy więcej, więc:
7 · 100 000 cm = 700 000 cm
700 000 cm to raczej mało wygodna jednostka, więc warto zamienić na kilometry:
- 100 cm = 1 m,
- 1000 m = 1 km,
- czyli 100 000 cm = 1 km.
700 000 cm = 7 · 100 000 cm = 7 km. Rzeczywista odległość wynosi więc 7 km.
Typowe pułapki przy obliczaniu wymiarów
Przy takich zadaniach pojawia się kilka powtarzalnych błędów:
1. Pomijanie jednostek.
Zapisywanie samych liczb, bez „cm”, „m”, „km”, prowadzi do chaosu. Wystarczy w jednym miejscu pomylić się w przeliczeniu i wynik przestaje mieć sens. Lepiej za każdym razem dopisać jednostkę, nawet kosztem dłuższego zapisu.
2. Zła interpretacja skali.
W skali 1 : 50 nie trzeba nic dzielić przez 50, żeby dostać wymiar rzeczywisty – odwrotnie, trzeba go pomnożyć:
3 cm na rysunku → 3 · 50 = 150 cm w rzeczywistości.
3. Zła kolejność przeliczania jednostek.
Bezpieczniej jest najpierw wszystko przeliczyć do tej samej, najmniejszej jednostki (zwykle do centymetrów), policzyć, a dopiero na końcu zamienić np. na kilometry.
4. Gubienie zer.
Skale kartograficzne bywają duże: 1 : 1 000 000. Tu łatwo zgubić jedno zero przy przepisywaniu. Dobrym nawykiem jest grupowanie cyfr po trzy (1 000 000 zamiast 1000000) – łatwiej wtedy wzrokowo wychwycić błąd.
Rodzaje zapisu skali i przeliczanie jednostek
W podręcznikach pojawiają się trzy podstawowe sposoby zapisu skali:
- liczbowa – 1 : 25 000, 1 : 200,
- słowna – 1 cm – 2 km, 1 cm – 5 m,
- liniowa – narysowana kreska z zaznaczonymi odległościami (często na mapach).
Skala liczbowa jest najwygodniejsza do obliczeń, bo od razu wiadomo, przez ile mnożyć. Przy zapisach słownych trzeba jeszcze zamienić jednostki.
Przeliczanie kilometrów na centymetry – schemat
W zadaniach geograficznych typowy jest zapis „1 cm – 2 km”. Żeby zrobić z tego klasyczne 1 : n, trzeba wyrazić wszystko w tych samych jednostkach, np. w centymetrach.
2 km w centymetrach:
2 km = 2 · 1000 m = 2000 m
2000 m = 2000 · 100 cm = 200 000 cm
Zapis „1 cm – 2 km” można więc przerobić na:
1 cm : 200 000 cm = 1 : 200 000
Skala „1 cm – 2 km” to to samo co skala 1 : 200 000. Po takiej zamianie wszystkie zadania liczy się już standardowo: odległość na mapie mnoży się przez 200 000, żeby dostać odległość w centymetrach, a potem – jeśli trzeba – zamienia na kilometry.
Praktyczna zasada: zapis słowny skali zawsze da się przekształcić do postaci liczbowej 1 : n, o ile obie strony (mapa i rzeczywistość) zostaną wyrażone w tych samych jednostkach.
Skala powiększająca a skala pomniejszająca
W szkole na ogół pojawiają się skale typu 1 : 100 czy 1 : 10 000 – to są skale pomniejszające. Liczba po prawej mówi, ile razy obiekt został zmniejszony.
Istnieje jednak także skala powiększająca, spotykana np. przy rysunkach małych przedmiotów w fizyce lub biologii. Wtedy zapis wygląda na przykład tak:
5 : 1 albo 2 : 1
Skala 5 : 1 oznacza, że:
- 5 jednostek na rysunku odpowiada 1 jednostce w rzeczywistości,
- rysunek jest 5 razy większy niż realny obiekt.
Zasady obliczeń są identyczne jak wcześniej – wciąż obowiązuje porównanie „rysunek : rzeczywistość” – tylko teraz liczba po lewej jest większa.
Dla jasności:
- skala pomniejszająca – prawa liczba większa niż 1 (np. 1 : 100),
- skala powiększająca – lewa liczba większa niż 1 (np. 3 : 1).
Zadania egzaminacyjne – skrócony schemat rozwiązywania
W zadaniach testowych i egzaminacyjnych można zauważyć pewien stały schemat pracy ze skalą. Sprawdza się w większości sytuacji, od prostych zadań z mapą po obliczanie pola w zmniejszonej figurze.
Uniwersalna kolejność działań:
- Sprawdzić, w jakiej formie podana jest skala (liczbowa, słowna, liniowa).
- Jeśli trzeba – zamienić zapis na skalę liczbową 1 : n.
- Wszystkie dane sprowadzić do jednakowych jednostek.
- Ustalić, czy szukana jest długość na rysunku, czy odległość w rzeczywistości.
- Zastosować odpowiednią operację:
- od rysunku do rzeczywistości → mnożenie przez n,
- od rzeczywistości do rysunku → dzielenie przez n.
- Na końcu ewentualnie zamienić jednostki na wygodniejsze (np. cm na km).
Najczęstsze błędy na sprawdzianach
Warto zwrócić uwagę na kilka charakterystycznych potknięć, bo pojawiają się w pracach uczniów regularnie, nawet u osób dobrze rozumiejących samą ideę skali.
1. Mieszanie stron skali.
Zdarza się traktowanie zapisu 1 : 50 tak, jakby 1 oznaczało rzeczywistość, a 50 – rysunek. W skali zawsze najpierw jest rysunek, potem rzeczywistość. Zmiana kolejności całkowicie odwraca znaczenie.
2. Liczenie „na skróty” bez przeliczeń jednostek.
Przykład: „4 cm na planie, skala 1 : 500, więc 4 · 500 = 2000, czyli 2000 m”. W jednym kroku pomylono jednostki – 2000 to w tym wypadku centymetry, a nie metry. Krótki zapis kusi, ale często wprowadza błąd.
3. Zapominanie, że skala dotyczy także pól.
Jeśli długości są pomniejszone np. 100 razy, to pola są pomniejszone 10 000 razy (bo 100 · 100). Dla pól skala „podnosi się do kwadratu”. To częsty motyw w trudniejszych zadaniach.
4. Używanie złej skali w zadaniu z kilkoma mapami.
Czasem na sprawdzianie obok siebie leżą dwie mapy różnych fragmentów kraju, każda w innej skali. Jeśli w czytaniu polecenia pominięta zostanie informacja, na której mapie dokonano pomiaru, obliczenia będą poprawne technicznie, ale oparte na złej skali.
Dobra praktyka: przed rozpoczęciem obliczeń warto podkreślić w treści zadania skalę, jednostki i to, czego dokładnie się szuka (rysunek czy rzeczywistość). Pozwala to uniknąć większości „głupich” błędów.
Umiejętność sprawnego liczenia ze skalą wchodzi w nawyk, jeśli konsekwentnie stosowany jest schemat: wspólne jednostki → jasna forma skali → właściwe mnożenie lub dzielenie. Po kilku świadomie rozwiązanych zadaniach obliczanie skali, odległości czy wymiarów figur przestaje być przykrym obowiązkiem, a staje się dość mechaniczną, przewidywalną czynnością.