Pochodne to jedno z kluczowych pojęć w analizie matematycznej. Pojawiają się w fizyce, ekonomii, informatyce, a nawet w biologii. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest pochodna funkcji, jak ją rozumieć, jak obliczać pochodne z wykorzystaniem podstawowych wzorów oraz przećwiczymy wszystko na prostych przykładach. Dzięki temu zrozumiesz nie tylko definicje, ale też sens pochodnych i nauczysz się liczyć pochodne samodzielnie.
Czym jest pochodna funkcji – intuicyjna idea
Wyobraź sobie, że jedziesz samochodem i co sekundę zapisujesz, gdzie jesteś. Otrzymujesz wtedy funkcję opisującą położenie w zależności od czasu, np. \\(s(t)\\). Pytanie: jak szybko jedziesz w danej chwili (np. w 10. sekundzie)?
Średnia prędkość między chwilą \\(t\\) i \\(t + \Delta t\\) to:
\\[\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) – s(t)}{\Delta t}.\\]
Jeśli \\(\Delta t\\) jest bardzo małe (prawie 0), ta średnia prędkość zamienia się w prędkość chwilową. Matematycznie mówimy wtedy o pochodnej funkcji w punkcie \\(t\\).
Formalna definicja pochodnej
Niech \\(f(x)\\) będzie funkcją zmiennej \\(x\\). Pochodna funkcji \\(f\\) w punkcie \\(x_0\\) (jeśli istnieje) jest zdefiniowana jako granica:
\\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x}.\\]
Inna, równoważna postać definicji:
\\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}.\\]
W praktyce rzadko liczymy pochodne wprost z tej definicji. Najczęściej korzystamy z wzorów na pochodne i zasad obliczania pochodnych, które znacznie upraszczają rachunki.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Jeśli \\(y = f(x)\\) to wykres tej funkcji możemy narysować w układzie współrzędnych. Pochodna \\(f'(x_0)\\) to:
- nachylenie (stycznej) do wykresu funkcji w punkcie \\(x_0\\),
- współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie.
Nachylenie dodatnie – funkcja rośnie; ujemne – funkcja maleje; zero – w tym punkcie wykres jest „poziomy” (może to być maksimum, minimum lub punkt przegięcia).
Prosty wykres: funkcja i jej pochodna
Spójrzmy na przykład funkcji \\(f(x) = x^2\\) i jej pochodnej \\(f'(x) = 2x\\). Na poniższym prostym, responsywnym wykresie widać oba przebiegi.
Notacja pochodnej
Pochodną zapisujemy na kilka równoważnych sposobów:
- \\(f'(x)\\) – „f prim od x”,
- \\(y’\\), jeśli \\(y = f(x)\\),
- \\(\dfrac{df}{dx}\\) – pochodna funkcji \\(f\\) względem zmiennej \\(x\\),
- \\(\dfrac{dy}{dx}\\), gdy \\(y = f(x)\\).
Wszystkie te zapisy oznaczają pochodną funkcji po zmiennej w danym punkcie lub (gdy pozostawiamy \\(x\\) jako zmienną) – nową funkcję \\(f'(x)\\).
Podstawowe zasady obliczania pochodnych
Zanim przejdziemy do przykładów, potrzebujemy podstawowych reguł. Poniżej znajduje się tabelka z najważniejszymi wzorami.
1. Pochodna stałej
Jeśli \\(c\\) jest stałą (np. 5, \\(\pi\\), \\(-3\\)), to:
\\[\frac{d}{dx}c = 0.\\]
2. Pochodna funkcji potęgowej \\(x^n\\)
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \\(n\\):
\\[\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.\\]
Przykłady:
- \\(\dfrac{d}{dx}x^2 = 2x\\),
- \\(\dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2\\),
- \\(\dfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \dfrac{d}{dx}x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\).
3. Pochodna funkcji liniowej
Jeśli \\(f(x) = ax + b\\), to:
\\[f'(x) = a.\\]
4. Reguła sumy i różnicy
Jeśli \\(f(x)\\) i \\(g(x)\\) są różniczkowalne (mają pochodną), to:
\\[(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x),\\]
\\[(f(x) – g(x))’ = f'(x) – g'(x).\\]
5. Reguła iloczynu
Jeśli \\(h(x) = f(x) \cdot g(x)\\), to:
\\[h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).\\]
6. Reguła ilorazu
Jeśli \\(h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\\) i \\(g(x) \neq 0\\), to:
\\[h'(x) = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}.\\]
7. Pochodne podstawowych funkcji trygonometrycznych
Najczęściej używane wzory:
\\[\frac{d}{dx}\sin x = \cos x,\\]
\\[\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,\\]
\\[\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x.\\]
Podsumowanie wzorów na pochodne – tabela
| Funkcja \\(f(x)\\) | Pochodna \\(f'(x)\\) |
|---|---|
| \\(c\\) (stała) | \\(0\\) |
| \\(x^n\\) | \\(n x^{n-1}\\) |
| \\(ax + b\\) | \\(a\\) |
| \\(\sqrt{x} = x^{1/2}\\) | \\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\) |
| \\(\sin x\\) | \\(\cos x\\) |
| \\(\cos x\\) | \\(-\sin x\\) |
| \\(\tan x\\) | \\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\\) |
| \\(f(x) + g(x)\\) | \\(f'(x) + g'(x)\\) |
| \\(f(x)\cdot g(x)\\) | \\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\) |
| \\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\\) | \\(\dfrac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\\) |
Jak obliczyć pochodną – przykłady krok po kroku
Przykład 1: Pochodna wielomianu
Oblicz pochodną funkcji:
\\[f(x) = 3x^2 – 5x + 2.\\]
Krok 1: Rozpisz pochodną na sumę.
Korzystamy z reguły sumy i różnicy:
\\[f'(x) = (3x^2)’ – (5x)’ + (2)’.\\]
Krok 2: Zastosuj wzór \\(\dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}\\).
- \\((3x^2)’ = 3 \cdot (x^2)’ = 3 \cdot 2x = 6x\\),
- \\((5x)’ = 5 \cdot (x)’ = 5 \cdot 1 = 5\\),
- \\((2)’ = 0\\) (pochodna stałej).
Krok 3: Złóż wszystko w całość.
\\[f'(x) = 6x – 5 + 0 = 6x – 5.\\]
Przykład 2: Pochodna pierwiastka
Oblicz pochodną funkcji:
\\[f(x) = \sqrt{x}.\\]
Krok 1: Zapisz pierwiastek jako potęgę.
\\[f(x) = x^{1/2}.\\]
Krok 2: Zastosuj wzór na pochodną funkcji potęgowej.
\\[f'(x) = \frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2}.\\]
Krok 3: Zapisz wynik w formie z pierwiastkiem.
Bierzemy pod uwagę, że \\(x^{-1/2} = \dfrac{1}{x^{1/2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\\), więc:
\\[f'(x) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x > 0.\\]
Przykład 3: Pochodna funkcji trygonometrycznej i liniowej
Oblicz pochodną:
\\[f(x) = \sin x + 2x.\\]
Krok 1: Rozdzielamy sumę.
\\[f'(x) = (\sin x)’ + (2x)’.\\]
Krok 2: Stosujemy wzory podstawowe.
- \\((\sin x)’ = \cos x\\),
- \\((2x)’ = 2\\cdot (x)’ = 2.\\)
Krok 3: Zapisujemy wynik.
\\[f'(x) = \cos x + 2.\\]
Przykład 4: Pochodna iloczynu
Oblicz pochodną funkcji:
\\[h(x) = x^2 \sin x.\\]
Krok 1: Rozpoznaj formę funkcji.
Mamy iloczyn \\(f(x) = x^2\\) i \\(g(x) = \sin x\\). Użyjemy reguły iloczynu:
\\[h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).\\]
Krok 2: Oblicz pochodne cząstkowe.
- \\(f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x\\),
- \\(g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x\\).
Krok 3: Podstaw do wzoru na pochodną iloczynu.
\\[h'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x.\\]
Jak czytać wynik pochodnej?
Załóżmy, że masz funkcję:
\\[s(t) = 4t^2\\]
i liczysz jej pochodną:
\\[s'(t) = 8t.\\]
Jeśli \\(t\\) oznacza czas (np. w sekundach), a \\(s(t)\\) położenie (np. w metrach), to:
- \\(s'(t)\\) oznacza prędkość w chwili \\(t\\),
- \\(s'(2) = 16\\) oznacza prędkość 16 m/s w czasie \\(t = 2\\) s.
W wielu zadaniach z fizyki, chemii czy ekonomii pochodna mówi „jak szybko coś się zmienia” – na przykład tempo zmiany temperatury, tempo zmiany kosztów, tempo przyrostu populacji.
Typowe błędy przy obliczaniu pochodnych
- Zapominanie o wzorach – np. traktowanie \\(\sin x\\) jak \\(x\\) i pisanie, że \\((\sin x)’ = 1\\ (to błąd, prawidłowo: \\(\cos x\\)).
- Nieprawidłowe stosowanie reguły iloczynu – pamiętaj, że pochodna iloczynu to \\(f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\), a nie tylko \\(f'(x)g'(x)\\).
- Pominięcie stałej przy potędze – np. \\(\dfrac{d}{dx}(3x^2)\\) to \\(6x\\), a nie \\(3x\\).
- Mylenie reguły iloczynu z regułą potęgi – \\((x^2)^3\\) to funkcja potęgowa, a \\(x^2 \cdot x^3\\) to iloczyn dwóch funkcji potęgowych.
Prosty kalkulator pochodnej funkcji kwadratowej
Aby poćwiczyć zasady obliczania pochodnych, skorzystamy z prostego kalkulatora. Dla funkcji kwadratowej:
\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]
pochodna ma postać:
\\[f'(x) = 2ax + b.\\]
Wpisz współczynniki \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). Kalkulator wypisze pochodną w postaci \\(f'(x) = 2ax + b\\) i dodatkowo obliczy wartość pochodnej w wybranym punkcie \\(x_0\\).
Kalkulator pochodnej funkcji kwadratowej
Jak dalej ćwiczyć pochodne?
Aby dobrze opanować pochodne w matematyce, warto:
- rozwiązać wiele prostych przykładów (wielomiany, pierwiastki, funkcje trygonometryczne),
- powtarzać wzory na pochodne aż staną się „automatyczne”,
- analizować zadania tekstowe (fizyka, ekonomia), gdzie pochodna ma konkretną interpretację,
- rysować wykresy funkcji i ich pochodnych, aby lepiej rozumieć, jak zmienia się nachylenie stycznej.
Znajomość pochodnych otwiera drogę do dalszych zagadnień: ekstremów funkcji (maksimum, minimum), badania przebiegu zmienności, całek czy równań różniczkowych. Dlatego warto poświęcić im trochę czasu – w zamian stają się bardzo potężnym narzędziem w rozwiązywaniu realnych problemów.