Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów to dwa fundamentalne narzędzia w geometrii trójkąta. Pozwalają rozwiązywać zadania, w których nie wystarczy zwykły wzór na pole czy twierdzenie Pitagorasa. Po ich opanowaniu potrafisz obliczyć brakujące boki i kąty w prawie każdym trójkącie (nie tylko prostokątnym).
Podstawowe pojęcia: oznaczenia w trójkącie
Na początku ustalmy wspólne oznaczenia, które będą używane w całym tekście.
Rozważmy dowolny trójkąt \(ABC\):
- \(A, B, C\) – wierzchołki trójkąta,
- \(\alpha\) – kąt przy wierzchołku \(A\),
- \(\beta\) – kąt przy wierzchołku \(B\),
- \(\gamma\) – kąt przy wierzchołku \(C\),
- \(a\) – długość boku naprzeciwko kąta \(\alpha\), czyli przy wierzchołku \(A\),
- \(b\) – długość boku naprzeciwko kąta \(\beta\), czyli przy wierzchołku \(B\),
- \(c\) – długość boku naprzeciwko kąta \(\gamma\), czyli przy wierzchołku \(C\).
Dodatkowo:
- \(R\) – promień okręgu opisanego na trójkącie (okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki).
Twierdzenie sinusów – treść i intuicja
Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}. \]
Można je też zapisać z wykorzystaniem promienia okręgu opisanego:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R. \]
Co to oznacza w praktyce?
Jeśli znasz w trójkącie:
- dwa kąty i jeden bok (np. \(\alpha, \beta\) i \(a\)), lub
- dwa boki i jeden z kątów naprzeciwko któregoś z nich,
to możesz obliczyć pozostałe boki lub kąty właśnie za pomocą twierdzenia sinusów.
Najczęstsze zastosowania twierdzenia sinusów
| Co jest dane? | Co liczymy? | Czy użyć twierdzenia sinusów? |
|---|---|---|
| dwa kąty + jeden bok (AAS / ASA) | pozostałe boki, trzeci kąt | Tak – idealny przypadek |
| dwa boki + kąt naprzeciw jednego z nich (SSA) | pozostałe kąty, trzeci bok | Tak – ale trzeba uważać na dwa możliwe rozwiązania |
| trzy boki (SSS) | wszystkie kąty | Można, ale wygodniej najpierw użyć twierdzenia cosinusów |
| dwa boki + kąt między nimi (SAS) | trzeci bok, potem kąty | Najpierw twierdzenie cosinusów, potem sinusów |
Przykład 1 – zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia boku
Zadanie. W trójkącie \(ABC\) dany jest kąt \(\alpha = 40^\circ\), kąt \(\beta = 70^\circ\) oraz bok \(a = 8\,\text{cm}\). Oblicz bok \(b\).
Krok 1. Oblicz trzeci kąt.
W każdym trójkącie suma kątów wynosi \(180^\circ\):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 40^\circ + 70^\circ + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \gamma = 70^\circ. \]
Krok 2. Zastosuj twierdzenie sinusów.
Zapisz zależność dla boków \(a\) i \(b\):
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \]
\[ \frac{8}{\sin 40^\circ} = \frac{b}{\sin 70^\circ}. \]
Krok 3. Rozwiąż równanie.
\[ b = \frac{8 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 40^\circ}. \]
Po obliczeniu na kalkulatorze otrzymamy przybliżoną wartość (przy założeniu, że kalkulator jest ustawiony na stopnie):
\[ b \approx \frac{8 \cdot 0{,}9397}{0{,}6428} \approx \frac{7{,}5176}{0{,}6428} \approx 11{,}69\,\text{cm}. \]
Przykład 2 – obliczanie kąta z twierdzenia sinusów
Zadanie. W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 9\,\text{cm}\) oraz kąt \(\alpha = 35^\circ\). Oblicz kąt \(\beta\).
Krok 1. Zastosuj twierdzenie sinusów.
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \Rightarrow \frac{6}{\sin 35^\circ} = \frac{9}{\sin\beta}. \]
Krok 2. Wyznacz \(\sin\beta\).
\[ \sin\beta = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{6} = \frac{3}{2}\sin 35^\circ. \]
Przybliżenie numeryczne:
\[ \sin 35^\circ \approx 0{,}5736 \Rightarrow \sin\beta \approx \frac{3}{2} \cdot 0{,}5736 \approx 0{,}8604. \]
Krok 3. Oblicz kąt z funkcji odwrotnej.
\[ \beta = \arcsin(0{,}8604) \approx 59{,}3^\circ. \]
W tym typie zadań trzeba pamiętać, że dla danego sinusa mogą istnieć dwa kąty w przedziale \(0^\circ\)–\(180^\circ\) (tzw. przypadek niejednoznaczny SSA), ale w wielu zadaniach szkolnych przyjmuje się rozwiązanie „oczywiste” lub dodatkowa informacja ogranicza liczbę możliwości.
Twierdzenie cosinusów – treść i zastosowania
Twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt (niekoniecznie prostokątny). Dla trójkąta \(ABC\) mamy trzy postacie:
\[ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos\alpha, \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos\beta, \]
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma. \]
Związek z twierdzeniem Pitagorasa
Jeśli trójkąt jest prostokątny, np. \(\gamma = 90^\circ\), to \(\cos 90^\circ = 0\). Wtedy wzór dla \(c\) przyjmuje postać:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos 90^\circ = a^2 + b^2 – 0 = a^2 + b^2, \]
co jest klasycznym twierdzeniem Pitagorasa. Dlatego mówimy, że twierdzenie cosinusów rozszerza Pitagorasa na każdy trójkąt.
Kiedy używać twierdzenia cosinusów?
- Dane: trzy boki (SSS) – chcemy obliczyć kąty.
- Dane: dwa boki i kąt między nimi (SAS) – chcemy obliczyć trzeci bok.
| Sytuacja w zadaniu | Lepiej użyć | Dlaczego? |
|---|---|---|
| Dane trzy boki | Twierdzenie cosinusów | Pozwala bezpośrednio znaleźć kąt |
| Dwa boki i kąt między nimi (SAS) | Twierdzenie cosinusów | Trzeci bok z jednego wzoru |
| Dwa kąty i bok | Twierdzenie sinusów | Nie ma prostego zastosowania cosinusów |
| Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich | Najpierw cosinusów lub sinusów (zależnie od danych) | Możliwy „przypadek niejednoznaczny” |
Przykład 3 – obliczenie boku z twierdzenia cosinusów
Zadanie. W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 10\,\text{cm}\), kąt między nimi \(\gamma = 60^\circ\). Oblicz bok \(c\).
Krok 1. Zapisz odpowiedni wzór.
Kąt \(\gamma\) leży między bokami \(a\) i \(b\), więc użyjemy:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma. \]
Krok 2. Podstaw dane.
\[ c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ. \]
\[ c^2 = 49 + 100 – 140 \cdot \cos 60^\circ. \]
Pamiętamy, że \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), więc:
\[ c^2 = 149 – 140 \cdot \frac{1}{2} = 149 – 70 = 79. \]
Krok 3. Wyciągnij pierwiastek.
\[ c = \sqrt{79} \approx 8{,}89\,\text{cm}. \]
Przykład 4 – obliczenie kąta z twierdzenia cosinusów
Zadanie. W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 5\,\text{cm}\), \(b = 7\,\text{cm}\), \(c = 9\,\text{cm}\). Oblicz kąt \(\gamma\) naprzeciwko boku \(c\).
Krok 1. Użyj wzoru na \(c^2\).
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma. \]
\[ 9^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos\gamma. \]
Krok 2. Podstaw i przekształć.
\[ 81 = 25 + 49 – 70\cos\gamma. \]
\[ 81 = 74 – 70\cos\gamma. \]
Przenosimy:
\[ 81 – 74 = -70\cos\gamma \Rightarrow 7 = -70\cos\gamma. \]
Mnożymy obie strony przez \(-1\):
\[ -7 = 70\cos\gamma \Rightarrow \cos\gamma = -\frac{7}{70} = -0{,}1. \]
Krok 3. Oblicz kąt z funkcji odwrotnej.
\[ \gamma = \arccos(-0{,}1) \approx 95{,}7^\circ. \]
Otrzymaliśmy kąt rozwarty, co ma sens, bo naprzeciwko najdłuższego boku w trójkącie leży kąt największy (tu większy niż \(90^\circ\)).
Jak połączyć twierdzenie sinusów i cosinusów w zadaniach?
Często w jednym zadaniu korzystamy z obu twierdzeń:
- Najpierw twierdzenie cosinusów, aby obliczyć brakujący bok (SAS → SSS).
- Potem twierdzenie sinusów, aby obliczyć brakujące kąty.
Przykład 5 – pełne rozwiązanie trójkąta
Zadanie. W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 11\,\text{cm}\), \(\gamma = 50^\circ\). Oblicz pozostałe boki i kąty.
Krok 1. Oblicz bok \(c\) z twierdzenia cosinusów.
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma. \]
\[ c^2 = 8^2 + 11^2 – 2 \cdot 8 \cdot 11 \cos 50^\circ. \]
\[ c^2 = 64 + 121 – 176\cos 50^\circ = 185 – 176\cos 50^\circ. \]
Przybliżenie: \(\cos 50^\circ \approx 0{,}6428\).
\[ c^2 \approx 185 – 176 \cdot 0{,}6428 \approx 185 – 113{,}13 \approx 71{,}87. \]
\[ c \approx \sqrt{71{,}87} \approx 8{,}48\,\text{cm}. \]
Krok 2. Użyj twierdzenia sinusów, aby obliczyć kąt \(\alpha\) lub \(\beta\).
Weźmy na przykład kąt \(\alpha\), korzystając z boku \(a\) i \(c\):
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}. \]
\[ \frac{8}{\sin\alpha} = \frac{8{,}48}{\sin 50^\circ}. \]
\[ \sin\alpha = \frac{8 \cdot \sin 50^\circ}{8{,}48}. \]
Przybliżenie: \(\sin 50^\circ \approx 0{,}7660\).
\[ \sin\alpha \approx \frac{8 \cdot 0{,}7660}{8{,}48} \approx \frac{6{,}13}{8{,}48} \approx 0{,}723. \]
\[ \alpha \approx \arcsin(0{,}723) \approx 46{,}3^\circ. \]
Krok 3. Oblicz kąt \(\beta\) z sumy kątów w trójkącie.
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ. \]
\[ 46{,}3^\circ + \beta + 50^\circ = 180^\circ. \]
\[ \beta \approx 180^\circ – 96{,}3^\circ \approx 83{,}7^\circ. \]
W ten sposób trójkąt jest w pełni rozwiązany: znamy trzy boki i trzy kąty.
Prosty rysunek trójkąta na Canvas
Poniżej znajduje się prosty, responsywny szkic trójkąta z oznaczeniami kątów i boków. Rysunek dopasowuje się szerokością do ekranu.
Mini-kalkulator: twierdzenie cosinusów (obliczanie boku)
Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci przećwiczyć zastosowanie twierdzenia cosinusów. Wpisz długości dwóch boków oraz miarę kąta między nimi (w stopniach), a otrzymasz długość trzeciego boku.
Jak zapamiętać, kiedy którego twierdzenia użyć?
Można przyjąć kilka prostych zasad:
- Masz więcej informacji o kątach (co najmniej 2 kąty)? – myśl o twierdzeniu sinusów.
- Masz informacje o bokach, w szczególności trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi? – zacznij od twierdzenia cosinusów.
- Po obliczeniu brakujących boków bardzo często dalsze kąty wygodniej policzyć twierdzeniem sinusów albo z sumy kątów w trójkącie.
Podsumowanie
- Twierdzenie sinusów:
\[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}. \]
Przydaje się szczególnie, gdy znamy dwa kąty i bok lub dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich. - Twierdzenie cosinusów:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha,\quad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta,\quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma. \]
Używamy go, gdy mamy trzy boki (SSS) lub dwa boki i kąt między nimi (SAS).
Opanowanie tych dwóch twierdzeń pozwala rozwiązać praktycznie każde standardowe zadanie dotyczące trójkątów w geometrii płaskiej. Kluczem jest umiejętność rozpoznania typu danych w zadaniu i dobranie odpowiedniego narzędzia.