Wartości funkcji trygonometrycznych

W tym artykule wyjaśnimy krok po kroku, czym są wartości funkcji trygonometrycznych, jak wygląda tabela podstawowych wartości oraz jak z nich korzystać w praktyce. Skupimy się na najczęściej używanych funkcjach: sinus (\(\sin\)), cosinus (\(\cos\)) i tangens (\(\tan\)). Na końcu znajdziesz prosty kalkulator oraz wykres pomagający lepiej zrozumieć te funkcje.

Co to są funkcje trygonometryczne?

Funkcje trygonometryczne opisują zależności między kątami a długościami boków w trójkącie prostokątnym oraz na okręgu jednostkowym.

Najważniejsze funkcje trygonometryczne to:

sinus – \(\sin \alpha\)
cosinus – \(\cos \alpha\)
tangens – \(\tan \alpha\)
cotangens – \(\cot \alpha\) (nieco rzadziej używana na poziomie podstawowym)

Definicje w trójkącie prostokątnym

Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym kąt \(\alpha\) jest ostry (mniejszy niż \(90^\circ\)).

Przeciwprostokątna – bok leżący naprzeciw kąta prostego
Przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) – bok przylegający do kąta \(\alpha\)
Przeciwległa przyprostokątna do kąta \(\alpha\) – bok leżący naprzeciw kąta \(\alpha\)

Wtedy:

\[
\sin \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}
\]

\[
\cos \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}
\]

\[
\tan \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}
\]

\[
\cot \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwległa}}
\]

Te definicje wystarczą do większości zadań na poziomie szkoły podstawowej i średniej (zakres podstawowy).

Stopnie a radiany – w jakich jednostkach podajemy kąt?

Kąt można podawać w:

stopniach – np. \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\)
radianach – np. \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\)

Związek między stopniami a radianami:

\[
180^\circ = \pi \ \text{rad}
\]

Ogólny wzór na zamianę:

ze stopni na radiany: \(\alpha_\text{rad} = \alpha_\text{deg} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\)
z radianów na stopnie: \(\alpha_\text{deg} = \alpha_\text{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\)

W tym artykule skupimy się głównie na stopniach, bo tak częściej pojawiają się zadania na poziomie podstawowym.

Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych

Najważniejsze i najczęściej używane są wartości dla kątów:

\(0^\circ\)
\(30^\circ\)
\(45^\circ\)
\(60^\circ\)
\(90^\circ\)

Te wartości warto znać z pamięci, bo bardzo często pojawiają się w zadaniach.

Wzory na wartości dla podstawowych kątów

Można je zapisać w postaci ułamków z pierwiastkami:

\[
\sin 0^\circ = 0,\quad \cos 0^\circ = 1,\quad \tan 0^\circ = 0
\]

\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2},\quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

\[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tan 45^\circ = 1
\]

\[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2},\quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}
\]

\[
\sin 90^\circ = 1,\quad \cos 90^\circ = 0,\quad \tan 90^\circ\ \text{– nie istnieje (dzielenie przez 0)}
\]

Dlaczego te wartości wyglądają właśnie tak?

Można je wyprowadzić z własności trójkątów specjalnych:

Trójkąt równoramienny prostokątny o kątach \(45^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\)
Trójkąt o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\)

Przykład (kąt \(45^\circ\)):

Weź trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równe i mają długość 1. Przeciwprostokątna ma wtedy długość \(\sqrt{2}\) (z twierdzenia Pitagorasa). Dla kąta \(45^\circ\):

\[
\sin 45^\circ = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
\cos 45^\circ = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Podstawowa tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Poniżej znajduje się klasyczna tabela funkcji trygonometrycznych dla najważniejszych kątów w stopniach:

Kąt	\(\sin \alpha\)	\(\cos \alpha\)	\(\tan \alpha\)
\(0^\circ\)	0	1	0
\(30^\circ\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	1
\(60^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\sqrt{3}\)
\(90^\circ\)	1	0	–

Znając tę tabelę, można rozwiązać bardzo wiele zadań bez użycia kalkulatora.

Rozszerzona tabela – kąty w I i II ćwiartce

Funkcje trygonometryczne można też opisać dla kątów większych niż \(90^\circ\), korzystając z okręgu jednostkowego. Poniższa tabela pokazuje wartości przybliżone (dziesiętne) dla kilku typowych kątów w I i II ćwiartce (0–180°).

Kąt	\(\sin \alpha\)	\(\cos \alpha\)	\(\tan \alpha\)
\(0^\circ\)	0,000	1,000	0,000
\(30^\circ\)	0,500	0,866	0,577
\(45^\circ\)	0,707	0,707	1,000
\(60^\circ\)	0,866	0,500	1,732
\(90^\circ\)	1,000	0,000	–
\(120^\circ\)	0,866	-0,500	-1,732
\(135^\circ\)	0,707	-0,707	-1,000
\(150^\circ\)	0,500	-0,866	-0,577
\(180^\circ\)	0,000	-1,000	0,000

Zwróć uwagę na znaki:

w I ćwiartce (0–90°): \(\sin > 0\), \(\cos > 0\), \(\tan > 0\)
w II ćwiartce (90–180°): \(\sin > 0\), \(\cos < 0\), \(\tan < 0\)

Podstawowe tożsamości trygonometryczne (zależności)

Niektóre wzory warto znać, bo ułatwiają obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych.

1. Związek między sinusem i cosinusem

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

Jeśli znasz \(\sin \alpha\), możesz obliczyć \(\cos \alpha\), i odwrotnie (pamiętając o znaku):

\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{1 – \sin^2 \alpha}, \quad \sin \alpha = \pm \sqrt{1 – \cos^2 \alpha}
\]

2. Związek między tangensem a sinusem i cosinusem

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

3. Związek dla kąta uzupełniającego (do \(90^\circ\))

\[
\sin (90^\circ – \alpha) = \cos \alpha
\]

\[
\cos (90^\circ – \alpha) = \sin \alpha
\]

To tłumaczy np. dlaczego \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ\).

Przykłady obliczeń z użyciem tabeli wartości trygonometrycznych

Przykład 1: Obliczanie wysokości trójkąta (drabina przy ścianie)

Zadanie: Drabina o długości 4 m oparta jest o ścianę pod kątem \(60^\circ\) do podłoża. Na jakiej wysokości dotyka ściany? (Przyjmij, że drabina, podłoże i ściana tworzą trójkąt prostokątny.)

Rozwiązanie:

długość drabiny – to przeciwprostokątna, oznaczmy ją \(c = 4\ \text{m}\)
wysokość, na której drabina dotyka ściany – to przeciwległa przyprostokątna, oznaczmy ją \(h\)
kąt przy podłożu: \(\alpha = 60^\circ\)

Z definicji sinusa:

\[
\sin 60^\circ = \frac{h}{c}
\]

\[
h = c \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\ \text{m}
\]

Odpowiedź: drabina sięga na wysokość ok. \(3{,}46\ \text{m}\).

Przykład 2: Długość cienia (słup i Słońce)

Zadanie: Słup ma wysokość 5 m. Promienie słoneczne padają pod kątem \(30^\circ\) do poziomu. Jak długa jest długość cienia słupa?

Rozwiązanie:

wysokość słupa – przeciwległa przyprostokątna: \(h = 5\ \text{m}\)
długość cienia – przyległa przyprostokątna: \(d\)
kąt między promieniem a ziemią: \(\alpha = 30^\circ\)

Używamy tangensa, bo łączy przeciwległą i przyległą przyprostokątną:

\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{d}
\Rightarrow d = \frac{h}{\tan 30^\circ}
\]

Wiemy, że \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), więc:

\[
d = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\ \text{m}
\]

Odpowiedź: cień ma długość ok. \(8{,}66\ \text{m}\).

Przykład 3: Obliczanie wartości na podstawie zależności

Zadanie: Dana jest wartość \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Oblicz \(\cos 60^\circ\) bez użycia kalkulatora.

Rozwiązanie 1 – kąt uzupełniający:

\[
\cos 60^\circ = \sin (90^\circ – 60^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]

Rozwiązanie 2 – z tabeli: z podstawowej tabeli znamy \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

Jak obliczać wartości trygonometryczne kąta w praktyce?

W praktyce stosuje się trzy główne metody:

korzystanie z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych (jak wyżej),
korzystanie z kalkulatora (szkolnego, naukowego lub w telefonie),
korzystanie z wzorów i zależności (tożsamości trygonometrycznych).

Jeśli kąt jest „ładny” (np. \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)), najczęściej używa się tabeli lub zapamiętanej wartości. Jeśli kąt jest nietypowy (np. \(37^\circ\)), korzystamy z kalkulatora.

Prosty kalkulator wartości funkcji trygonometrycznych (JavaScript)

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który dla podanego kąta w stopniach obliczy \(\sin\), \(\cos\) lub \(\tan\). Kalkulator używa funkcji wbudowanych w JavaScript, więc wartości podawane są w przybliżeniu dziesiętnym.

Kalkulator wartości trygonometrycznych

Kąt w stopniach:

Wybierz funkcję:

Możesz porównywać wyniki kalkulatora z tabelą dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), aby zobaczyć, jak wartości przybliżone (dziesiętne) odpowiadają wartościom „dokładnym” z pierwiastkami.

Wykresy funkcji sinus i cosinus

Aby lepiej zrozumieć, jak zmieniają się wartości funkcji trygonometrycznych, przyjrzyjmy się prostemu wykresowi \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\) w zakresie od \(0^\circ\) do \(360^\circ\). Zwróć uwagę na:

wartości od -1 do 1,
okresowość – kształt fali powtarzającej się co \(360^\circ\),
przesunięcie między sinusem a cosinusem (cosinus jest „przesunięty” względem sinusa o \(90^\circ\)).

Funkcje trygonometryczne w praktyce – na co zwrócić uwagę?

Podczas rozwiązywania zadań związanych z funkcjami trygonometrycznymi pamiętaj o kilku kluczowych zasadach:

Zawsze rysuj prosty szkic sytuacji. Łatwiej wtedy dostrzec, który bok jest przyprostokątną, a który przeciwprostokątną.
Sprawdzaj jednostki kąta. Kalkulatory komputerowe i programistyczne często liczą w radianach; kalkulatory szkolne pozwalają wybrać tryb DEG (stopnie) lub RAD (radiany).
Używaj tabeli podstawowych wartości. Dla „ładnych kątów” lepiej zapisać wynik w formie dokładnej (z pierwiastkami) niż przybliżonej dziesiętnej.
Zwracaj uwagę na zakres kąta (ćwiartkę). Dzięki temu wiesz, jaki powinien być znak wartości (\(+\) lub \(-\)).
Kontroluj, czy wynik ma sens fizyczny. Jeśli liczysz długość, wynik nie może być ujemny; jeśli stosujesz sinus lub cosinus, wartości nie mogą być większe niż 1 lub mniejsze niż -1.

Podsumowanie

Wartości funkcji trygonometrycznych – zwłaszcza sinusa, cosinusa i tangensa – są podstawowym narzędziem przy rozwiązywaniu zadań z geometrii, fizyki i wielu działów matematyki. Znając:

definicje funkcji w trójkącie prostokątnym,
podstawową tabelę wartości dla kątów \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\),
kilka prostych zależności (jak \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)),

jesteś w stanie rozwiązać większość zadań na poziomie podstawowym. W razie potrzeby możesz wesprzeć się kalkulatorem (takim jak w tym artykule) oraz wykresem, aby lepiej zrozumieć, jak zmieniają się wartości funkcji trygonometrycznych wraz ze zmianą kąta.