W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta (oznaczana najczęściej przez \\(\Delta\\)), skąd biorą się wzory na deltę oraz jak stosować je w praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Pokażemy także proste przykłady zadań oraz udostępnimy prosty kalkulator, który pomoże Ci w samodzielnych obliczeniach.
Co to jest delta w równaniu kwadratowym?
Rozważmy ogólne równanie kwadratowe:
\\[ ax^2 + bx + c = 0, \\]
gdzie \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) są liczbami rzeczywistymi i \\(a \neq 0\\).
Delta (oznaczana symbolem \\(\Delta\\)) to tzw. wyróżnik równania kwadratowego. Jest to liczba, którą obliczamy na podstawie współczynników \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) i która mówi nam, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe i jak one wyglądają.
Wzór na deltę – podstawowe wyrażenie
Najważniejszy wzór, który musisz znać:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac. \\]
Gdzie:
- \\(a\\) – współczynnik przy \\(x^2\\),
- \\(b\\) – współczynnik przy \\(x\\),
- \\(c\\) – wyraz wolny (bez \\(x\\)).
Delta jest więc liczbą, którą obliczamy z tych trzech współczynników. Jej wartość decyduje o liczbie rozwiązań równania kwadratowego.
Co oznacza wartość delty? – interpretacja
W zależności od tego, czy delta jest dodatnia, równa zero czy ujemna, równanie kwadratowe ma różną liczbę rozwiązań (pierwiastków rzeczywistych).
| Wartość delty | Liczba rozwiązań | Opis |
|---|---|---|
| \\(\Delta > 0\\) | 2 pierwiastki rzeczywiste | Parabola przecina oś \\(x\\) w dwóch punktach. |
| \\(\Delta = 0\\) | 1 pierwiastek rzeczywisty (podwójny) | Parabola styka się z osią \\(x\\) w jednym punkcie. |
| \\(\Delta < 0\\) | Brak pierwiastków rzeczywistych | Parabola nie przecina osi \\(x\\). |
Związek między deltą a pierwiastkami równania kwadratowego
Jeśli znamy deltę, możemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzory na pierwiastki zależą od wartości \\(\Delta\\).
1. Gdy \\(\Delta > 0\\) – dwa pierwiastki
Jeśli delta jest dodatnia, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
\\[ x_{1} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}. \\]
2. Gdy \\(\Delta = 0\\) – jeden pierwiastek podwójny
Wtedy oba wzory prowadzą do tej samej liczby:
\\[ x_{0} = \frac{-b}{2a}. \\]
3. Gdy \\(\Delta < 0\\) – brak pierwiastków rzeczywistych
W tym przypadku nie ma pierwiastków rzeczywistych (w liczbach rzeczywistych), bo nie możemy wyciągnąć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej bez przejścia do liczb zespolonych (co na poziomie podstawowym zwykle się pomija).
Krok po kroku: jak rozwiązać równanie kwadratowe za pomocą delty?
- Zapisz równanie w postaci ogólnej \\(ax^2 + bx + c = 0\\).
- Odczytaj współczynniki \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\).
- Oblicz deltę: \\(\Delta = b^2 – 4ac\\).
- Sprawdź znak delty (\\(>0\\), \\(=0\\), \\(<0\\)).
- W zależności od wyniku zastosuj odpowiedni wzór na pierwiastki.
Przykład 1 – dodatnia delta (dwa rozwiązania)
Rozwiąż równanie:
\\[ x^2 – 5x + 6 = 0. \\]
Krok 1. Odczytujemy współczynniki:
- \\(a = 1\\),
- \\(b = -5\\),
- \\(c = 6\\).
Krok 2. Obliczamy deltę:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1. \\]
\\(\Delta = 1 > 0\\), więc będą dwa pierwiastki.
Krok 3. Obliczamy pierwiastki:
\\[ x_{1} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2, \\]
\\[ x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3. \\]
Odpowiedź: \\(x_1 = 2\\), \\(x_2 = 3\\).
Sprawdzenie rozwiązania
Możemy sprawdzić, podstawiając pierwiastki do równania:
- Dla \\(x = 2\\): \\(2^2 – 5\cdot 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0\\).
- Dla \\(x = 3\\): \\(3^2 – 5\cdot 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0\\).
Oba wyniki są równe 0, więc pierwiastki są poprawne.
Przykład 2 – delta równa zero (pierwiastek podwójny)
Rozwiąż równanie:
\\[ x^2 – 4x + 4 = 0. \\]
Krok 1. Współczynniki:
- \\(a = 1\\),
- \\(b = -4\\),
- \\(c = 4\\).
Krok 2. Obliczamy deltę:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4\cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0. \\]
\\(\Delta = 0\\), więc równanie ma jeden pierwiastek podwójny.
Krok 3. Pierwiastek podwójny:
\\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \\]
Odpowiedź: \\(x_0 = 2\\) (pierwiastek podwójny).
Przykład 3 – ujemna delta (brak pierwiastków rzeczywistych)
Rozwiąż równanie:
\\[ 2x^2 + 4x + 5 = 0. \\]
Krok 1. Współczynniki:
- \\(a = 2\\),
- \\(b = 4\\),
- \\(c = 5\\).
Krok 2. Obliczamy deltę:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4\cdot 2 \cdot 5 = 16 – 40 = -24. \\]
\\(\Delta = -24 < 0\\), więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Na poziomie szkoły podstawowej lub wczesnego liceum w takim przypadku mówimy po prostu, że równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Jak szybko rozpoznawać \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) w zadaniach?
Równanie musi być zapisane w postaci:
\\[ ax^2 + bx + c = 0. \\]
Czasem równanie na początku wygląda inaczej, np.:
- \\(2x^2 + 3 = 5x\\),
- \\(3 – x^2 = 4x\\).
Trzeba je wtedy przekształcić, aby wszystko było po jednej stronie, a po drugiej stronie było 0.
Przykład przekształcenia
Równanie: \\[ 2x^2 + 3 = 5x. \\]
Przenosimy \\(5x\\) na lewą stronę:
\\[ 2x^2 – 5x + 3 = 0. \\]
Teraz:
- \\(a = 2\\),
- \\(b = -5\\),
- \\(c = 3\\).
Przykład 4 – pełne zadanie z przekształceniem i deltą
Rozwiąż równanie:
\\[ 2x^2 + 3 = 5x. \\]
Krok 1. Przekształcamy do postaci ogólnej:
\\[ 2x^2 + 3 = 5x \\Rightarrow 2x^2 – 5x + 3 = 0. \\]
Krok 2. Współczynniki:
- \\(a = 2\\),
- \\(b = -5\\),
- \\(c = 3\\).
Krok 3. Obliczamy deltę:
\\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4\cdot 2 \cdot 3 = 25 – 24 = 1. \\]
\\(\Delta = 1 > 0\\) – będą dwa pierwiastki.
Krok 4. Pierwiastki:
\\[ x_{1} = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) – 1}{2\cdot 2} = \frac{5 – 1}{4} = \frac{4}{4} = 1, \\]
\\[ x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \\]
Odpowiedź: \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \frac{3}{2}\\).
Graficzna interpretacja delty – prosty wykres
Każde równanie kwadratowe \\(ax^2 + bx + c = 0\\) odpowiada wykresowi funkcji kwadratowej:
\\[ y = ax^2 + bx + c. \\]
Jeśli narysujemy tę funkcję na układzie współrzędnych, dostaniemy parabole. Miejsca, w których parabola przecina oś \\(x\\), to właśnie pierwiastki równania kwadratowego (o ile istnieją). Dlatego:
- \\(\Delta > 0\\) – parabola przecina oś \\(x\\) w dwóch punktach,
- \\(\Delta = 0\\) – parabola jest styczna do osi \\(x\\),
- \\(\Delta < 0\\) – parabola nie dotyka osi \\(x\\).
Poniżej prosty wykres funkcji \\(y = x^2 – 4x + 3\\), dla której \\(\Delta > 0\\) i istnieją dwa pierwiastki \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 3\\).
Prosty kalkulator delty i pierwiastków równania kwadratowego
Poniższy kalkulator pozwala obliczyć deltę oraz pierwiastki równania kwadratowego \\(ax^2 + bx + c = 0\\). Wpisz wartości \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\) i kliknij przycisk.
Jak samodzielnie ćwiczyć zadania z deltą?
Aby dobrze opanować temat, warto:
- Przepisywać równania do postaci ogólnej \\(ax^2 + bx + c = 0\\).
- Systematycznie obliczać deltę dla różnych równań.
- Próbować od razu przewidzieć, ile rozwiązań ma równanie, zanim policzysz pierwiastki.
- Po obliczeniu pierwiastków zawsze wykonać szybkie sprawdzenie, podstawiając do równania.
Możesz też tworzyć własne przykłady, wybierając dowolne wartości \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), a następnie korzystać z kalkulatora powyżej, aby sprawdzić poprawność swoich obliczeń.