Wzór na promień okręgu wpisanego

W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest promień okręgu wpisanego w trójkąt, skąd bierze się wzór na jego obliczanie i jak stosować go w praktyce. Na końcu znajdziesz prosty kalkulator w JavaScript, który automatycznie policzy promień okręgu wpisanego na podstawie długości boków trójkąta.

Co to jest okrąg wpisany w trójkąt?

Wyobraź sobie dowolny trójkąt. Okrąg wpisany to taki okrąg, który jest dotknięty (styczny) do wszystkich trzech boków trójkąta, ale znajduje się w jego wnętrzu.

Formalnie:

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do każdego boku trójkąta.
Środek okręgu wpisanego nazywamy środkiem okręgu wpisanego lub insentrum.
Promień tego okręgu nazywamy promieniem okręgu wpisanego i oznaczamy zwykle przez \( r \).

Przykład: jeśli mamy trójkąt o bokach \( a, b, c \), to w jego wnętrzu możemy narysować jeden jedyny okrąg wpisany – jego promień to właśnie \( r \), który będziemy umieli obliczać po przeczytaniu tego artykułu.

Podstawowe oznaczenia i pojęcia

Aby bez problemu korzystać ze wzorów, ustalmy oznaczenia:

\( a, b, c \) – długości boków trójkąta,
\( r \) – promień okręgu wpisanego,
\( P \) – pole trójkąta,
\( p \) – półobwód trójkąta, czyli
\[ p = \frac{a + b + c}{2}. \]

Pojęcie półobwodu pojawi się we wzorach na pole trójkąta i na promień okręgu wpisanego, więc warto je dobrze zapamiętać.

Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt

Najważniejszy wzór, którego będziemy używać, ma dwie równoważne formy:

Wzór ogólny:

\[
r = \frac{P}{p}
\]
lub równoważnie
\[
r = \frac{2P}{a + b + c}.
\]

Gdzie:

\( P \) – pole trójkąta,
\( p = \frac{a + b + c}{2} \) – półobwód trójkąta.

W praktyce ten wzór oznacza: jeżeli znasz pole trójkąta i długości jego boków, możesz obliczyć promień okręgu wpisanego.

Skąd się bierze wzór \( r = \frac{P}{p} \)?

To bardzo ważne, żeby nie tylko znać wzór, ale także rozumieć jego pochodzenie. Dzięki temu łatwiej go zapamiętasz i unikniesz pomyłek.

Oznaczmy trójkąt \( ABC \), z bokami:
- \( a = BC \),
- \( b = AC \),
- \( c = AB \).
Wpiszmy w ten trójkąt okrąg o promieniu \( r \) i środku \( O \).
Połączmy środek okręgu \( O \) z wierzchołkami \( A, B, C \). Trójkąt \( ABC \) podzieli się na trzy mniejsze trójkąty:
\[ \triangle AOB,\ \triangle BOC,\ \triangle COA. \]
Każdy z tych mniejszych trójkątów ma wysokość równą \( r \), ponieważ promień okręgu do boków trójkąta jest prostopadły.
Policzmy pole całego trójkąta jako sumę pól trzech mniejszych trójkątów:
\[
P = P_{AOB} + P_{BOC} + P_{COA}.
\]
Pole trójkąta liczymy ze wzoru:
\[
P = \frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość}.
\]
Zatem:
- \( P_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r \),
- \( P_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r \),
- \( P_{COA} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \).
Dodajemy:
\[
P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a + b + c).
\]
Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć \( r \):
\[
P = \frac{1}{2}r(a + b + c) \Rightarrow r = \frac{2P}{a + b + c}.
\]

Teraz wprowadzamy półobwód:

\[
p = \frac{a + b + c}{2} \Rightarrow a + b + c = 2p.
\]

Po podstawieniu:

\[
r = \frac{2P}{2p} = \frac{P}{p}.
\]

Otrzymujemy więc zgrabny i bardzo ważny wzór:

\[
\boxed{r = \frac{P}{p}}.
\]

Jak obliczyć promień okręgu wpisanego znając tylko boki trójkąta?

Często w zadaniach znamy tylko długości boków trójkąta: \( a \), \( b \), \( c \). Wtedy możemy:

Najpierw obliczyć pole \( P \) ze wzoru Herona,
Potem obliczyć półobwód \( p \),
Na końcu użyć wzoru \( r = \frac{P}{p} \).

Wzór Herona na pole trójkąta

Jeśli znamy wszystkie trzy boki trójkąta, to pole możemy policzyć ze wzoru Herona:

\[
p = \frac{a + b + c}{2}
\]
\[
P = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}.
\]

Po połączeniu tego ze wzorem na promień okręgu wpisanego otrzymujemy:

\[
r = \frac{P}{p} = \frac{\sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}}{p}.
\]

Szczególne przypadki – wzory uproszczone

Trójkąt równoboczny

W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe: \( a = b = c \). Dla takiego trójkąta promień okręgu wpisanego jest prosty do obliczenia:

\[
r = \frac{a\sqrt{3}}{6}.
\]

Warto też znać powiązanie z wysokością \( h \) trójkąta równobocznego:

\[
h = \frac{a\sqrt{3}}{2},\quad r = \frac{h}{3}.
\]

Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym (np. o przyprostokątnych \( a, b \) i przeciwprostokątnej \( c \)) obowiązuje prosty wzór:

\[
r = \frac{a + b – c}{2}.
\]

Wynika on z faktu, że pole trójkąta prostokątnego można zapisać jako:

\[
P = \frac{1}{2}ab
\]
oraz związek:
\[
P = rp = r\cdot \frac{a+b+c}{2}.
\]

Po przekształceniu otrzymujemy właśnie
\[
r = \frac{a + b – c}{2}.
\]

Przykład 1 – promień okręgu wpisanego przy znanym polu i bokach

Zadanie. Dany jest trójkąt o bokach \( a = 5\ \mathrm{cm} \), \( b = 6\ \mathrm{cm} \), \( c = 7\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Krok 1: Obliczenie półobwodu

\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\ \mathrm{cm}.
\]

Krok 2: Obliczenie pola ze wzoru Herona

\[
P = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)} = \sqrt{9(9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}.
\]

\[
9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 9 \cdot 24 = 216,
\]
\[
P = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2.
\]

Krok 3: Zastosowanie wzoru na promień okręgu wpisanego

Skorzystamy ze wzoru \( r = \frac{P}{p} \):

\[
r = \frac{P}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm} \approx 1{,}63\ \mathrm{cm}.
\]

Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi \( \frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm} \approx 1{,}63\ \mathrm{cm} \).

Przykład 2 – trójkąt prostokątny

Zadanie. Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \( a = 3\ \mathrm{cm} \), \( b = 4\ \mathrm{cm} \), przeciwprostokątna \( c = 5\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie z wykorzystaniem wzoru dla trójkąta prostokątnego

Skorzystamy ze wzoru:

\[
r = \frac{a + b – c}{2}.
\]

Podstawiamy wartości:

\[
r = \frac{3 + 4 – 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\ \mathrm{cm}.
\]

Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny wynosi \( 1\ \mathrm{cm} \).

Przykład 3 – trójkąt równoboczny

Zadanie. Dany jest trójkąt równoboczny o boku \( a = 6\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie z wykorzystaniem wzoru dla trójkąta równobocznego

Wzór dla trójkąta równobocznego:

\[
r = \frac{a\sqrt{3}}{6}.
\]

Podstawiamy:

\[
r = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 1{,}73\ \mathrm{cm}.
\]

Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego wynosi \( \sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 1{,}73\ \mathrm{cm} \).

Tabela – porównanie wzorów na promień okręgu wpisanego

Typ trójkąta	Dane	Wzór na promień okręgu wpisanego \( r \)
Dowolny trójkąt	Pole \( P \), boki \( a, b, c \)	\( r = \dfrac{2P}{a + b + c} = \dfrac{P}{p} \)
Dowolny trójkąt (tylko boki)	Boki \( a, b, c \)	\( p = \dfrac{a + b + c}{2},\quad r = \dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \)
Trójkąt prostokątny	Przyprostokątne \( a, b \), przeciwprostokątna \( c \)	\( r = \dfrac{a + b – c}{2} \)
Trójkąt równoboczny	Bok \( a \)	\( r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \)

Typowe błędy przy obliczaniu promienia okręgu wpisanego

Pomylenie okręgu wpisanego z opisywanym. Okrąg wpisany jest styczny do boków trójkąta, a okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Wzory na promienie są zupełnie inne.
Błędne obliczenie półobwodu. Pamiętaj, że
\[ p = \frac{a + b + c}{2}, \]
a nie \( a + b + c \).
Zapomnienie o kolejności działań we wzorze Herona. Najpierw liczysz \( p \), potem \( p – a \), \( p – b \), \( p – c \), dopiero potem mnożysz i na końcu wyciągasz pierwiastek.
Nie sprawdzenie, czy z podanych boków da się zbudować trójkąt. Musi być spełniona nierówność trójkąta:
\[
a + b > c,\quad a + c > b,\quad b + c > a.
\]

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Trójkąt ma boki \( a = 8\ \mathrm{cm} \), \( b = 6\ \mathrm{cm} \), \( c = 10\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego, korzystając ze wzoru Herona i wzoru \( r = \dfrac{P}{p} \).
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości \( 5\ \mathrm{cm} \) i \( 12\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \( 9\ \mathrm{cm} \). Oblicz promień okręgu wpisanego. Sprawdź wynik także przez obliczenie pola i użycie wzoru \( r = \dfrac{P}{p} \).

Prosty kalkulator – promień okręgu wpisanego z długości boków

Poniższy kalkulator obliczy promień okręgu wpisanego na podstawie długości trzech boków trójkąta. Wykorzystuje wzór Herona oraz wzór:
\[ r = \frac{P}{p}. \]

Oblicz promień okręgu wpisanego

Bok a:

Bok b:

Bok c:

Możesz użyć kalkulatora, aby sprawdzić swoje wyniki zadań lub szybciej rozwiązać zadania z większymi liczbami. Warto jednak najpierw spróbować policzyć ręcznie, aby utrwalić wzory.

Podsumowanie – najważniejsze informacje

Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków trójkąta i leży w jego wnętrzu.
Promień okręgu wpisanego oznaczamy zwykle przez \( r \).
Dla dowolnego trójkąta:
\[
r = \frac{P}{p} = \frac{2P}{a + b + c},
\]
gdzie \( P \) – pole trójkąta, \( p = \dfrac{a + b + c}{2} \) – półobwód.
Jeśli znamy tylko trzy boki, używamy wzoru Herona:
\[
P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},\quad r = \frac{P}{p}.
\]
Dla trójkąta prostokątnego:
\[
r = \frac{a + b - c}{2}.
\]
Dla trójkąta równobocznego:
\[
r = \frac{a\sqrt{3}}{6}.
\]

Znając te wzory i potrafiąc je stosować, bez problemu poradzisz sobie z większością zadań dotyczących promienia okręgu wpisanego w trójkąt.