Ciąg arytmetyczny to jedno z najważniejszych pojęć w matematyce szkolnej. Pojawia się w zadaniach z algebry, funkcji, a nawet w prostych zastosowaniach praktycznych (np. regularny wzrost oszczędności, równomierne zwiększanie dawki, stała zmiana temperatury). W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest ciąg arytmetyczny, podamy wszystkie podstawowe wzory oraz pokażemy, jak z nich korzystać na przykładach.
Co to jest ciąg arytmetyczny? Definicja
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz (od drugiego poczynając) powstaje przez dodanie tej samej liczby do wyrazu poprzedniego.
Formalnie:
Ciąg \(\{a_n\}\) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje stała liczba \(r\) (nazywana różnicą ciągu) taka, że dla każdego \(n \ge 2\):
\[ a_n = a_{n-1} + r \]
Oznacza to, że:
- różnica między kolejnymi wyrazami jest stała,
- \(r\) może być dodatnia, ujemna lub równa zero,
- jeśli \(r > 0\) – ciąg rośnie, jeśli \(r < 0\) – ciąg maleje, jeśli \(r = 0\) – ciąg jest stały.
Przykłady prostych ciągów arytmetycznych
- \(2, 5, 8, 11, 14, \dots\)
- kolejne różnice: \(5-2=3\), \(8-5=3\), \(11-8=3\)
- różnica: \(r = 3\)
- \(10, 7, 4, 1, -2, \dots\)
- kolejne różnice: \(7-10=-3\), \(4-7=-3\), \(1-4=-3\)
- różnica: \(r = -3\)
- \(5, 5, 5, 5, \dots\)
- różnica: \(r = 0\) (ciąg stały, ale nadal arytmetyczny)
Różnica w ciągu arytmetycznym
Różnica ciągu arytmetycznego to liczba, którą za każdym razem dodajemy, aby otrzymać kolejny wyraz:
\[ r = a_n – a_{n-1} \]
W praktyce najczęściej liczymy ją z pierwszych dwóch wyrazów:
\[ r = a_2 – a_1 \]
Przykład 1 – obliczanie różnicy
Rozważ ciąg: \(4, 9, 14, 19, \dots\)
- \(a_1 = 4\)
- \(a_2 = 9\)
- \(r = a_2 – a_1 = 9 – 4 = 5\)
Sprawdzamy kolejne różnice: \(14 – 9 = 5\), \(19 – 14 = 5\). Wszystko się zgadza, różnica jest stała, więc to ciąg arytmetyczny.
Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego
Wzór rekurencyjny mówi, jak obliczyć kolejny wyraz na podstawie poprzedniego:
\[
\begin{cases}
a_1 = a_1 \quad\text{(wyraz początkowy jest dany)} \\
a_n = a_{n-1} + r \quad\text{dla } n \ge 2
\end{cases}
\]
Ten sposób jest dobry do budowania ciągu krok po kroku, ale nie jest najwygodniejszy, gdy chcemy od razu policzyć np. \(a_{100}\). Do tego potrzebujemy wzoru ogólnego.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego wyraża \(n\)-ty wyraz wprost przez numer wyrazu \(n\), pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\):
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \]
Dlaczego tak jest?
- \(a_1\) – to pierwszy wyraz.
- \(a_2 = a_1 + r\)
- \(a_3 = a_2 + r = a_1 + 2r\)
- \(a_4 = a_3 + r = a_1 + 3r\)
Widać wzór: żeby dojść od \(a_1\) do \(a_n\), dodajemy \(r\) dokładnie \(n-1\) razy, więc:
\[ a_n = a_1 + (n-1)r \]
Przykład 2 – obliczanie wyrazów ciągu z wzoru ogólnego
Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 3\) i różnicy \(r = 4\). Oblicz \(a_5\) i \(a_{10}\).
Używamy wzoru:
\[ a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \]
- \(a_5 = 3 + (5-1)\cdot 4 = 3 + 4\cdot 4 = 3 + 16 = 19\)
- \(a_{10} = 3 + (10-1)\cdot 4 = 3 + 9\cdot 4 = 3 + 36 = 39\)
Przykład 3 – znajdowanie wzoru ogólnego z dwóch wyrazów
W ciągu arytmetycznym wiadomo, że \(a_3 = 10\) i \(a_7 = 22\). Znajdź wzór ogólny, czyli \(a_1\) i \(r\).
Zapisujemy dane za pomocą wzoru ogólnego:
- \(a_3 = a_1 + 2r = 10\)
- \(a_7 = a_1 + 6r = 22\)
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby pozbyć się \(a_1\):
\[ (a_1 + 6r) – (a_1 + 2r) = 22 – 10 \]
\[ 4r = 12 \Rightarrow r = 3 \]
Podstawiamy \(r = 3\) np. do równania \(a_1 + 2r = 10\):
\[ a_1 + 2\cdot 3 = 10 \Rightarrow a_1 + 6 = 10 \Rightarrow a_1 = 4 \]
Mamy więc wzór ogólny:
\[ a_n = 4 + (n-1)\cdot 3 \]
Uproszczona postać wzoru ogólnego
Często zapisuje się wzór ogólny w uproszczonej formie: \[ a_n = an + b \]
Każdy ciąg arytmetyczny można tak zapisać, ponieważ:
\[ a_n = a_1 + (n-1)r = rn + (a_1 – r) \]
Wtedy:
- „współczynnik przy \(n\)” to właśnie różnica \(r\),
- wyraz wolny \(b = a_1 – r\).
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
W wielu zadaniach nie chodzi o pojedynczy wyraz, lecz o sumę kilku pierwszych wyrazów, oznaczaną zwykle przez \(S_n\):
\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \]
Dla ciągu arytmetycznego mamy szczególnie wygodny wzór:
\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]
czyli:
- średnia arytmetyczna pierwszego i n-tego wyrazu,
- pomnożona przez liczbę wyrazów \(n\).
Jeżeli nie znamy \(a_n\), możemy użyć wersji z różnicą \(r\):
\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n \]
Skąd się bierze wzór na sumę?
Rozpiszmy sumę na dwa sposoby:
\[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n \]
Odwróćmy kolejność wyrazów:
\[ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 \]
Dodajmy te sumy stronami:
\[ 2S_n = (a_1+a_n) + (a_2+a_{n-1}) + \dots + (a_n + a_1) \]
Każda para ma wartość \(a_1 + a_n\), a par jest dokładnie \(n\), więc:
\[ 2S_n = n(a_1 + a_n) \Rightarrow S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \]
Przykład 4 – suma pierwszych n wyrazów
Dany jest ciąg arytmetyczny: \(2, 5, 8, 11, \dots\). Oblicz sumę pierwszych 10 wyrazów, czyli \(S_{10}\).
Najpierw wyznaczamy \(a_{10}\):
\[ a_1 = 2, \quad r = 3 \]
\[ a_{10} = 2 + (10-1)\cdot 3 = 2 + 9\cdot 3 = 2 + 27 = 29 \]
Teraz korzystamy ze wzoru na sumę:
\[ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{2 + 29}{2}\cdot 10 = \frac{31}{2}\cdot 10 = 155 \]
Przykład 5 – suma znana, szukane n
W ciągu arytmetycznym \(a_1 = 3\), \(r = 2\). Ile pierwszych wyrazów trzeba dodać, aby otrzymać sumę \(S_n = 105\)?
Użyjemy wzoru: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n \]
Podstawiamy dane:
\[ 105 = \frac{2\cdot 3 + (n-1)\cdot 2}{2} \cdot n \]
Uprośćmy licznik:
\[ 105 = \frac{6 + 2n – 2}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2}\cdot n = (n + 2)\cdot n \]
\[ 105 = n(n+2) \]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[ n^2 + 2n – 105 = 0 \]
Szukanie całkowitych rozwiązań: jaka liczba pomnożona przez następną większą o 2 daje 105?
- \(n = 9\): \(9\cdot 11 = 99\) – za mało,
- \(n = 10\): \(10\cdot 12 = 120\) – za dużo,
- \(n = 7\): \(7\cdot 9 = 63\) – za mało,
- \(n = 11\): \(11\cdot 13 = 143\) – za dużo,
- \(n = 13\): \(13\cdot 15 = 195\) – za dużo.
Spróbujmy rozwiązać formalnie (metodą delta):
\[ \Delta = 2^2 – 4\cdot 1 \cdot (-105) = 4 + 420 = 424 \]
\[ n = \frac{-2 \pm \sqrt{424}}{2} = -1 \pm \sqrt{106} \]
Otrzymujemy rozwiązania niecałkowite – w takim zadaniu oznacza to, że nie istnieje całkowita liczba pierwszych wyrazów, która daje dokładnie sumę 105. Gdyby w treści było powiedziane „najbliższa taka suma”, rozważalibyśmy zaokrąglenia, ale w typowych zadaniach szkolnych wynik powinien być naturalny – wtedy należałoby uznać, że nie ma takiego \(n\) w liczbach naturalnych.
(Przykład pokazuje, że nie każdą liczbę da się przedstawić jako sumę dokładnie pierwszych \(n\) wyrazów danego ciągu arytmetycznego.)
Tabela wyrazów ciągu arytmetycznego
Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na tabelę pierwszych kilku wyrazów konkretnego ciągu arytmetycznego. Rozważmy ciąg:
\[ a_n = 2 + (n-1)\cdot 3 \]
Czyli: \(a_1 = 2\), \(r = 3\).
| \(n\) | Wzór: \(a_n = 2 + (n-1)\cdot 3\) | Wartość \(a_n\) |
|---|---|---|
| 1 | \(a_1 = 2 + 0\cdot 3\) | 2 |
| 2 | \(a_2 = 2 + 1\cdot 3\) | 5 |
| 3 | \(a_3 = 2 + 2\cdot 3\) | 8 |
| 4 | \(a_4 = 2 + 3\cdot 3\) | 11 |
| 5 | \(a_5 = 2 + 4\cdot 3\) | 14 |
Wizualizacja ciągu arytmetycznego – prosty wykres
Ciąg arytmetyczny można przedstawić graficznie jako punkty leżące na prostej (jeśli potraktujemy numer wyrazu \(n\) jako argument na osi poziomej, a wartość \(a_n\) jako wartość na osi pionowej).
Poniżej prosty, responsywny wykres pierwszych 6 wyrazów ciągu \(a_n = 2 + (n-1)\cdot 3\).
Praktyczny kalkulator ciągu arytmetycznego
Poniższy prosty kalkulator pozwala obliczyć:
- \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_n\),
- sumę pierwszych \(n\) wyrazów: \(S_n\).
Wprowadź pierwszy wyraz \(a_1\), różnicę \(r\) oraz numer wyrazu \(n\), a kalkulator sam obliczy wyniki.
Kalkulator ciągu arytmetycznego
Typowe zadania z ciągiem arytmetycznym
Zadanie 1 – sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny
Sprawdź, czy ciąg: \(4, 9, 14, 19, 25, \dots\) jest arytmetyczny. Jeśli tak, podaj różnicę.
Rozwiązanie:
- Obliczamy różnice: \(9-4 = 5\), \(14-9 = 5\), \(19-14 = 5\), \(25-19 = 6\).
- Widzimy, że ostatnia różnica nie zgadza się ze wcześniejszymi (5, 5, 5, 6).
Odpowiedź: Nie, ten ciąg nie jest arytmetyczny (różnica nie jest stała).
Zadanie 2 – wyznaczanie pierwszego wyrazu i różnicy
W ciągu arytmetycznym dane są: \(a_4 = 17\), \(a_9 = 32\). Oblicz \(a_1\) i \(r\).
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru ogólnego \(\ a_n = a_1 + (n-1)r\ \):
- \(a_4 = a_1 + 3r = 17\)
- \(a_9 = a_1 + 8r = 32\)
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
\[ (a_1 + 8r) – (a_1 + 3r) = 32 – 17 \Rightarrow 5r = 15 \Rightarrow r = 3 \]
Podstawiamy \(r = 3\) do równania \(a_1 + 3r = 17\):
\[ a_1 + 3\cdot 3 = 17 \Rightarrow a_1 + 9 = 17 \Rightarrow a_1 = 8 \]
Odpowiedź: \(\ a_1 = 8\), \(r = 3\).
Zadanie 3 – suma fragmentu ciągu
W ciągu arytmetycznym \(a_1 = 5\), \(r = 2\). Oblicz sumę wyrazów od \(a_4\) do \(a_{10}\), czyli \(a_4 + a_5 + \dots + a_{10}\).
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy \(a_4\) i \(a_{10}\):
- \(a_4 = 5 + (4-1)\cdot 2 = 5 + 6 = 11\)
- \(a_{10} = 5 + (10-1)\cdot 2 = 5 + 18 = 23\)
Ile jest wyrazów od 4 do 10? To:
\[ n = 10 – 4 + 1 = 7 \]
Teraz traktujemy to jako „nową” sumę 7 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego od \(a_4\) do \(a_{10}\):
\[ S = \frac{a_4 + a_{10}}{2} \cdot 7 = \frac{11 + 23}{2}\cdot 7 = \frac{34}{2}\cdot 7 = 17\cdot 7 = 119 \]
Odpowiedź: \(\ a_4 + a_5 + \dots + a_{10} = 119 \).
Zadanie 4 – zastosowanie praktyczne
Uczeń postanowił codziennie zwiększać liczbę robionych pompek o 2 w stosunku do dnia poprzedniego. Pierwszego dnia zrobił 10 pompek.
- Ile pompek zrobi ósmego dnia?
- Ile łącznie pompek zrobi w ciągu pierwszych 8 dni?
Rozwiązanie:
To typowy przykład ciągu arytmetycznego:
- \(a_1 = 10\)
- \(r = 2\)
1. Ośmym dniem jest \(a_8\):
\[ a_8 = 10 + (8-1)\cdot 2 = 10 + 7\cdot 2 = 10 + 14 = 24 \]
2. Suma pierwszych 8 dni – \(S_8\):
\[ S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2}\cdot 8 = \frac{10 + 24}{2}\cdot 8 = \frac{34}{2}\cdot 8 = 17\cdot 8 = 136 \]
Odpowiedź:
- ósmego dnia zrobi 24 pompki,
- w ciągu pierwszych 8 dni zrobi łącznie 136 pompek.
Najważniejsze wzory na ciąg arytmetyczny – podsumowanie
- Definicja (rekurencyjna): \[ a_n = a_{n-1} + r \quad (n \ge 2) \]
- Różnica: \[ r = a_n – a_{n-1} = a_2 – a_1 \]
- Wzór ogólny (z \(a_1\) i \(r\)): \[ a_n = a_1 + (n-1)\cdot r \]
- Wzór ogólny (postać liniowa): \[ a_n = rn + (a_1 – r) \]
- Suma n pierwszych wyrazów (z \(a_1\) i \(a_n\)): \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n \]
- Suma n pierwszych wyrazów (z \(a_1\) i \(r\)): \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n \]
Umiejętność rozpoznawania ciągów arytmetycznych, obliczania ich wyrazów oraz sum jest bardzo ważna nie tylko na lekcjach matematyki, lecz także w zadaniach praktycznych. Warto ćwiczyć na prostych przykładach, a kalkulator powyżej może pomóc w szybkim sprawdzaniu własnych obliczeń.