Ciąg geometryczny to jedno z podstawowych pojęć w matematyce szkolnej, szczególnie ważne w liceum. Pojawia się w zadaniach egzaminacyjnych, ale ma też liczne zastosowania praktyczne, np. przy obliczaniu odsetek składanych (procent składany), w modelach wzrostu populacji czy w prostych modelach ekonomicznych.
Definicja ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny to taki ciąg liczbowy \(\{a_n\}\), w którym każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę nazywaną ilorazem ciągu i oznaczaną zwykle przez \(q\).
Formalnie:
\[
\text{Ciąg } (a_n) \text{ jest geometryczny, jeśli dla każdego } n \ge 1 \text{ zachodzi: } a_{n+1} = a_n \cdot q,
\]
gdzie \(q\) jest stałą (niezależną od \(n\)) i nazywa się ilorazem ciągu geometrycznego.
Przykład prosty
Rozważmy ciąg:
\[
2,\; 6,\; 18,\; 54,\; 162,\; \dots
\]
- \(a_1 = 2\)
- \(a_2 = 6\)
- \(a_3 = 18\)
- \(a_4 = 54\)
Sprawdźmy, czy jest geometryczny:
\[
\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3, \quad
\frac{a_3}{a_2} = \frac{18}{6} = 3, \quad
\frac{a_4}{a_3} = \frac{54}{18} = 3.
\]
Iloraz jest stały i równy \(q = 3\), więc mamy ciąg geometryczny.
Wzory ciągu geometrycznego
1. Iloraz ciągu geometrycznego
Jeśli znamy dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, to iloraz \(q\) obliczamy ze wzoru:
\[
q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \quad \text{(dla dowolnego } n \ge 1, \ a_n \ne 0).
\]
2. Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Najważniejszy wzór w ciągu geometrycznym:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}.
\]
Znaczenie symboli:
- \(a_n\) – n-ty wyraz ciągu,
- \(a_1\) – pierwszy wyraz,
- \(q\) – iloraz ciągu,
- \(n\) – numer wyrazu (naturalny: \(n = 1,2,3,\dots\)).
3. Wzór na sumę n początkowych wyrazów
Jeśli mamy ciąg geometryczny i chcemy policzyć sumę pierwszych \(n\) wyrazów:
\[
S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n,
\]
to korzystamy z jednego z dwóch równoważnych wzorów (dla \(q \ne 1\)):
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q},
\]
lub
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1}.
\]
Oba wzory są poprawne – wybieramy ten, który daje prostsze obliczenia (np. unikamy minusów w mianowniku).
4. Wzór na n-ty wyraz z innego wyrazu
Często w zadaniach znamy nie \(a_1\), ale np. \(a_k\) i chcemy znaleźć \(a_n\). Wtedy korzystamy z ogólniejszego wzoru:
\[
a_n = a_k \cdot q^{\,n-k}.
\]
W szczególności, jeśli znamy \(a_2\) zamiast \(a_1\):
\[
a_n = a_2 \cdot q^{\,n-2}.
\]
Podstawowe własności ciągu geometrycznego
- Jeśli \(q > 1\) i \(a_1 > 0\), ciąg jest rosnący i bardzo szybko „rośnie” (wykładniczo).
- Jeśli \(0 < q < 1\) i \(a_1 > 0\), ciąg jest malejący i zbliża się do zera.
- Jeśli \(q < 0\), ciąg zmienia znak (dodatni/ujemny naprzemiennie).
- Jeśli \(|q| > 1\), wyrazy rosną co do wartości bezwzględnej.
- Jeśli \(|q| < 1\), wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej i dążą do zera.
Rozpoznawanie ciągu geometrycznego
Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, można:
- Sprawdzić, czy ilorazy kolejnych wyrazów są stałe: \(\frac{a_{2}}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \dots\)
- Sprawdzić, czy da się zapisać zależność rekurencyjną \(a_{n+1} = a_n \cdot q\) z jednym, stałym \(q\).
Tabela przykładowych ciągów
| Ciąg | Jest geometryczny? | Iloraz \(q\) |
|---|---|---|
| \(2,\; 4,\; 8,\; 16,\; \dots\) | Tak | \(q = 2\) |
| \(5,\; 5,\; 5,\; 5,\; \dots\) | Tak | \(q = 1\) |
| \(3,\; -6,\; 12,\; -24,\; \dots\) | Tak | \(q = -2\) |
| \(1,\; 2,\; 4,\; 7,\; \dots\) | Nie | Brak stałego ilorazu |
Przykłady zadań z ciągu geometrycznego (z rozwiązaniami)
Przykład 1: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny
Zadanie. Sprawdź, czy ciąg \(3,\; 6,\; 12,\; 24,\; \dots\) jest geometryczny. Jeśli tak, podaj iloraz i wzór na n-ty wyraz.
Rozwiązanie krok po kroku.
- Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów:
\[
\frac{6}{3} = 2,\quad \frac{12}{6} = 2,\quad \frac{24}{12} = 2.
\]Iloraz jest stały i równy \(q = 2\), więc ciąg jest geometryczny.
- Pierwszy wyraz to \(a_1 = 3\).
- Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}.
\]
Odpowiedź: Tak, to ciąg geometryczny o ilorazie \(q = 2\), wzór: \(\displaystyle a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\).
Przykład 2: Obliczanie n-tego wyrazu
Zadanie. Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 5\) i ilorazie \(q = 3\). Oblicz piąty wyraz \(a_5\).
Rozwiązanie.
- Używamy wzoru:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
\] - Dla \(n = 5\):
\[
a_5 = 5 \cdot 3^{5-1} = 5 \cdot 3^4 = 5 \cdot 81 = 405.
\]
Odpowiedź: \(a_5 = 405\).
Przykład 3: Znalezienie ilorazu na podstawie dwóch wyrazów
Zadanie. W ciągu geometrycznym \(a_1 = 4\), a \(a_4 = 108\). Oblicz iloraz \(q\).
Rozwiązanie.
- Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz:
\[
a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = a_1 \cdot q^3.
\] - Podstawiamy dane:
\[
108 = 4 \cdot q^3.
\] - Dzielimy obie strony przez 4:
\[
q^3 = \frac{108}{4} = 27.
\] - Wyciągamy trzeci pierwiastek (szukamy liczby, której sześcian daje 27):
\[
q = \sqrt[3]{27} = 3.
\]
Odpowiedź: Iloraz ciągu to \(q = 3\).
Przykład 4: Obliczanie sumy pierwszych n wyrazów
Zadanie. Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 2\) i ilorazie \(q = 3\). Oblicz sumę pierwszych 5 wyrazów \(S_5\).
Rozwiązanie.
- Korzystamy ze wzoru na sumę:
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}, \quad q \ne 1.
\] - Dla \(n = 5\):
\[
S_5 = 2 \cdot \frac{1 – 3^5}{1 – 3}.
\] - Obliczamy potęgę:
\[
3^5 = 243.
\] - Podstawiamy:
\[
S_5 = 2 \cdot \frac{1 – 243}{1 – 3} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242.
\]
Odpowiedź: \(S_5 = 242\).
Przykład 5: Gdy znamy n-ty i m-ty wyraz
Zadanie. W ciągu geometrycznym wiadomo, że \(a_2 = 6\) i \(a_5 = 48\). Oblicz iloraz \(q\) oraz pierwszy wyraz \(a_1\).
Rozwiązanie.
- Używamy ogólnego wzoru:
\[
a_n = a_k \cdot q^{n-k}.
\] - Wyrażamy \(a_5\) przez \(a_2\) i \(q\):
\[
a_5 = a_2 \cdot q^{5-2} = a_2 \cdot q^3.
\] - Podstawiamy dane:
\[
48 = 6 \cdot q^3.
\] - Dzielimy obie strony przez 6:
\[
q^3 = \frac{48}{6} = 8.
\] - Wyciągamy trzeci pierwiastek:
\[
q = \sqrt[3]{8} = 2.
\] - Znamy \(q\), teraz liczmy \(a_1\). Wiemy, że:
\[
a_2 = a_1 \cdot q^{2-1} = a_1 \cdot q.
\] - Podstawiamy \(a_2 = 6\) i \(q = 2\):
\[
6 = a_1 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3.
\]
Odpowiedź: Iloraz \(q = 2\), pierwszy wyraz \(a_1 = 3\).
Prosty kalkulator ciągu geometrycznego (JavaScript)
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć n-ty wyraz oraz sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego. Wprowadź dane i kliknij „Oblicz”.
Kalkulator ciągu geometrycznego
Wizualizacja: wykres pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego
Aby lepiej zrozumieć, jak zachowuje się ciąg geometryczny, obejrzyj prosty wykres pierwszych kilku wyrazów dla \(a_1 = 1\) i \(q = 2\):
- \(a_1 = 1\)
- \(a_2 = 2\)
- \(a_3 = 4\)
- \(a_4 = 8\)
- \(a_5 = 16\)
- \(a_6 = 32\)
Podsumowanie – najważniejsze wzory i fakty
Dla ciągu geometrycznego \((a_n)\) o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):
- Warunek geometryczności:
\[
a_{n+1} = a_n \cdot q.
\] - Iloraz:
\[
q = \frac{a_{n+1}}{a_n}, \quad a_n \ne 0.
\] - n-ty wyraz:
\[
a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}.
\] - n-ty wyraz z innego wyrazu:
\[
a_n = a_k \cdot q^{\,n-k}.
\] - Suma pierwszych n wyrazów (dla \(q \ne 1\)):
\[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1}.
\] - Suma przy \(q = 1\): wtedy ciąg jest stały, a
\[
S_n = n \cdot a_1.
\]
Po opanowaniu tych kilku wzorów oraz zrozumieniu, czym jest iloraz i jak ciąg geometryczny rośnie lub maleje, większość typowych zadań z ciągu geometrycznego staje się schematyczna i przewidywalna. Warto ćwiczyć na wielu przykładach, aby nabrać wprawy w rozpoznawaniu i przekształcaniu tych wzorów.