W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest przekątna kwadratu, skąd bierze się wzór na jej długość, jak z niego korzystać oraz jak samodzielnie rozwiązywać typowe zadania. Dzięki temu po lekturze będziesz umieć:
- podać wzór na przekątną kwadratu,
- obliczyć długość przekątnej kwadratu, gdy znasz bok,
- obliczyć długość boku, gdy znasz przekątną,
- rozwiązywać proste zadania matematyczne z przekątną kwadratu.
Przypomnienie: co to jest kwadrat?
Kwadrat to szczególny rodzaj prostokąta. Ma następujące cechy:
- 4 boki tej samej długości,
- 4 kąty proste (\(90^\circ\)),
- przeciwległe boki są równoległe,
- dwie przekątne tej samej długości, przecinające się w połowie pod kątem prostym.
Bok kwadratu oznaczamy zwykle literą \(a\). Wszystkie boki są równe, więc długość każdego boku to po prostu \(a\).
Co to jest przekątna kwadratu?
Przekątna kwadratu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, na przykład A i C albo B i D.
- Każdy kwadrat ma dwie przekątne.
- Są one tej samej długości.
- Przecinają się dokładnie w środku kwadratu.
- Dzielą kwadrat na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Długość przekątnej będziemy oznaczać literą \(d\).
Prosty rysunek kwadratu z przekątną (Canvas)
Poniżej znajduje się prosty schematyczny rysunek kwadratu z zaznaczoną jedną przekątną. Rysunek jest wykonywany w elemencie <canvas> i dopasowuje się do szerokości ekranu (np. telefonu).
Skąd się bierze wzór na przekątną kwadratu?
Aby znaleźć wzór na przekątną kwadratu, skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Przypomnijmy je w prostej formie:
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\) zachodzi:
\[ a^2 + b^2 = c^2. \]
Krok po kroku
-
Narysuj kwadrat o boku \(a\) i jedną przekątną. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne.
-
Każdy z tych trójkątów ma:
- przyprostokątne: obie długości równe \(a\) (bo boki kwadratu są równe),
- przeciwprostokątną: przekątna kwadratu, czyli \(d\).
-
Zastosuj twierdzenie Pitagorasa:
\[ a^2 + a^2 = d^2. \]
-
Dodajemy lewe strony:
\[ 2a^2 = d^2. \]
-
Wyciągamy pierwiastek z obu stron równania:
\[ d = \sqrt{2a^2}. \]
-
Możemy uprościć pierwiastek:
\[ d = \sqrt{2}\cdot\sqrt{a^2} = \sqrt{2}\cdot a. \]
Ostatecznie otrzymujemy bardzo ważny wzór na przekątną kwadratu:
\[ d = a\sqrt{2}. \]
Wzór odwrotny: jak obliczyć bok kwadratu z przekątnej?
Często w zadaniach znamy długość przekątnej kwadratu i chcemy znaleźć długość boku. Wystarczy przekształcić wzór:
\[ d = a\sqrt{2}. \]
Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{2}\):
\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}}. \]
Można też (jeśli w zadaniu proszą o usunięcie pierwiastka z mianownika) skorzystać z prostego triku:
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}.
\]
W praktyce najczęściej stosujemy po prostu:
- gdy znamy bok: \(\displaystyle d = a\sqrt{2}\),
- gdy znamy przekątną: \(\displaystyle a = \frac{d}{\sqrt{2}}\).
Podsumowanie wzorów w tabeli
| Co znamy? | Co chcemy obliczyć? | Wzór |
|---|---|---|
| Bok kwadratu \(a\) | Przekątna \(d\) | \( d = a\sqrt{2} \) |
| Przekątna \(d\) | Bok kwadratu \(a\) | \( a = \dfrac{d}{\sqrt{2}} \) lub \( a = \dfrac{d\sqrt{2}}{2} \) |
Przykłady obliczeń: przekątna kwadratu i bok
Przykład 1. Oblicz przekątną kwadratu, gdy bok ma długość \(a = 4\ \text{cm}\)
Dane:
- \(a = 4\ \text{cm}\)
Szukane:
- \(d\) – przekątna kwadratu.
Wzór:
\[ d = a\sqrt{2}. \]
Podstawiamy:
\[
d = 4\sqrt{2}\ \text{cm}.
\]
Jeśli potrzebujemy wartości przybliżonej, przyjmujemy \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\):
\[
d \approx 4 \cdot 1{,}414 = 5{,}656\ \text{cm} \approx 5{,}66\ \text{cm}.
\]
Przykład 2. Oblicz przekątną kwadratu, gdy bok ma długość \(a = 7\ \text{cm}\)
\[
d = a\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 7 \cdot 1{,}414 = 9{,}898\ \text{cm} \approx 9{,}90\ \text{cm}.
\]
Przykład 3. Oblicz bok kwadratu, gdy przekątna ma długość \(d = 10\ \text{cm}\)
Dane:
- \(d = 10\ \text{cm}\)
Szukane:
- \(a\) – bok kwadratu.
Wzór:
\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}}. \]
Podstawienie:
\[
a = \frac{10}{\sqrt{2}}\ \text{cm}.
\]
Aby pozbyć się pierwiastka w mianowniku, możemy zapisać:
\[
a = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\ \text{cm}.
\]
Przybliżenie numeryczne:
\[
a \approx 5 \cdot 1{,}414 = 7{,}07\ \text{cm}.
\]
Przykład 4. Oblicz bok kwadratu, gdy przekątna ma długość \(d = 6\ \text{cm}\)
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}\ \text{cm} = \frac{6\sqrt{2}}{2}\ \text{cm} = 3\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 3 \cdot 1{,}414 = 4{,}242\ \text{cm} \approx 4{,}24\ \text{cm}.
\]
Prosty kalkulator przekątnej i boku kwadratu (JavaScript)
Poniższy kalkulator pozwoli Ci szybko obliczyć przekątną kwadratu na podstawie boku lub odwrotnie. Wystarczy, że wpiszesz jedną z wartości, a druga zostanie obliczona automatycznie.
Kalkulator: przekątna kwadratu i bok
Typowe zadania z przekątną kwadratu
Zadanie 1
Treść:
Bok kwadratu ma długość \(5\ \text{cm}\). Oblicz długość przekątnej kwadratu. Podaj wynik w postaci z pierwiastkiem i w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku.
Rozwiązanie krok po kroku:
-
Zapisz dane:
\[
a = 5\ \text{cm}.
\] -
Zapisz szukane:
\[
d = ?
\] -
Wybierz odpowiedni wzór:
\[
d = a\sqrt{2}.
\] -
Podstaw dane do wzoru:
\[
d = 5\sqrt{2}\ \text{cm}.
\] -
Policz przybliżenie (przyjmujemy \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)):
\[
d \approx 5 \cdot 1{,}414 = 7{,}07\ \text{cm}.
\]
Odpowiedź: \(d = 5\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 7{,}07\ \text{cm}\).
Zadanie 2
Treść:
Przekątna kwadratu ma długość \(8\ \text{cm}\). Oblicz długość boku kwadratu. Wynik podaj w postaci z pierwiastkiem i jako przybliżenie dziesiętne.
Rozwiązanie:
-
Dane:
\[
d = 8\ \text{cm}.
\] -
Szukane:
\[
a = ?
\] -
Wzór odwrotny:
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}}.
\] -
Podstawiamy:
\[
a = \frac{8}{\sqrt{2}}\ \text{cm}.
\] -
Usuwamy pierwiastek z mianownika:
\[
a = \frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm}.
\] -
Obliczamy przybliżenie:
\[
a \approx 4 \cdot 1{,}414 = 5{,}656\ \text{cm} \approx 5{,}66\ \text{cm}.
\]
Odpowiedź: \(a = 4\sqrt{2}\ \text{cm} \approx 5{,}66\ \text{cm}\).
Zadanie 3
Treść:
Pole kwadratu wynosi \(P = 18\ \text{cm}^2\). Oblicz długość przekątnej kwadratu.
To zadanie jest trochę trudniejsze, bo nie mamy podanego boku ani przekątnej wprost. Znamy tylko pole. Musimy więc połączyć dwie informacje:
- wzór na pole kwadratu,
- wzór na przekątną.
Rozwiązanie:
-
Wzór na pole kwadratu:
\[
P = a^2.
\] -
Podstawiamy dane:
\[
18 = a^2.
\] -
Aby znaleźć bok, bierzemy pierwiastek:
\[
a = \sqrt{18}.
\]Możemy rozłożyć liczbę 18 pod pierwiastkiem:
\[
a = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\ \text{cm}.
\] -
Teraz korzystamy ze wzoru na przekątną:
\[
d = a\sqrt{2}.
\] -
Podstawiamy \(a = 3\sqrt{2}\):
\[
d = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3\cdot 2 = 6\ \text{cm}.
\]
Odpowiedź: Przekątna kwadratu ma długość \(6\ \text{cm}\).
Dlaczego przekątna kwadratu jest dłuższa od boku?
Ze wzoru \(\displaystyle d = a\sqrt{2}\) widać, że długość przekątnej to bok pomnożony przez \(\sqrt{2}\). Wiemy, że:
- \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\)
- czyli \(\sqrt{2} > 1\)
To znaczy, że zawsze:
\[
d = a\sqrt{2} > a.
\]
Dlatego przekątna kwadratu jest zawsze większa niż jego bok. Jest to zgodne z intuicją: idąc „na skos” przez kwadrat pokonujemy dłuższą drogę niż po jednym boku.
Częste błędy i jak ich unikać
-
Pomylenie wzoru na przekątną z polem kwadratu
Niektórzy mylą wzory:- pole kwadratu: \(\displaystyle P = a^2\),
- przekątna: \(\displaystyle d = a\sqrt{2}\).
Zawsze zwracaj uwagę, co masz obliczyć (pole czy przekątną).
-
Zapomnienie o jednostkach
Jeśli bok jest w centymetrach, to przekątna również będzie w centymetrach. Zawsze dopisuj jednostkę przy wyniku. -
Błędne przybliżenie pierwiastka z 2
Do obliczeń najczęściej używamy \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Jeśli użyjesz zbyt niedokładnej wartości (np. 1,4), wynik będzie mniej precyzyjny. W zadaniach szkolnych zwykle wystarczy 1,41 lub 1,414. -
Zapomnienie, że istnieje też wzór odwrotny
Gdy znasz przekątną, nie próbuj zgadywać boku – po prostu użyj:
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}}.
\]
Podsumowanie – najważniejsze informacje do zapamiętania
- Kwadrat ma cztery równe boki i dwie równe przekątne.
- Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym utworzonym z dwóch boków kwadratu.
- Ze twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy wzór:
\[
d = a\sqrt{2}.
\] - Wzór odwrotny (na bok z przekątnej):
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}.
\] - Przekątna kwadratu jest zawsze dłuższa od jego boku, bo \(\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1\).
- W zadaniach:
- zawsze zapisuj dane i szukane,
- dobierz właściwy wzór,
- podstawiaj uważnie liczby,
- nie zapominaj o jednostkach.
Jeśli będziesz konsekwentnie stosować te kroki i korzystać ze wzorów podanych w tym artykule, zadania o przekątnej kwadratu staną się dla Ciebie proste i przewidywalne.